Распределение Бозе — Эйнштейна

Распределение Бозе — Эйнштейна — функция, описывающая распределение по уровням энергии тождественных частиц с нулевым или целочисленным спином (такие частицы называются бозонами) при условии, что взаимодействие частиц в системе слабое и им можно пренебречь (функция распределения идеального квантового газа, подчиняющегося статистике Бозе — Эйнштейна). В случае статистического равновесия среднее число [math]\displaystyle{ \bar{n}_i }[/math] таких частиц в состоянии с энергией [math]\displaystyle{ \epsilon_i }[/math] (выше температуры вырождения) определяется распределением Бозе — Эйнштейна:

[math]\displaystyle{ \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i - \mu)/kT} - 1}, }[/math]

где i — набор квантовых чисел, характеризующих состояние частицы, k — постоянная Больцмана, μ — химический потенциал.

Отметим, что химический потенциал для Бозе-газа принимает отрицательные и большие по модулю значения.

Функцией Бозе-Эйнштейна задаются числа заполнения квантовых состояний с различными энергиями. Сумма по дискретному или интеграл по непрерывному спектру даст полное число частиц в газе:

[math]\displaystyle{ N=\sum_{k}\frac{1}{e^{(\epsilon_k - \mu) /T}-1} }[/math].

С использованием функции Бозе-Эйнштейна, с введением соответствующих нормировок, выводятся и формулы распределения по энергии и импульсу.

Свойства статистики Бозе-Эйнштейна

Функция Бозе-Эйнштейна обладает следующими свойствами:

• безразмерна;
• принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до ∞;
• убывает с ростом энергии.

В отличие от Ферми-газа, Бозе-газ при абсолютном нуле температуры обладает наименьшей энергией, равной нулю. То есть все частицы находятся в квантовом состоянии с ε=0 и формируют так называемый Бозе-конденсат.

Применение статистики Бозе-Эйнштейна

Статистика Бозе-Эйнштейна находит применение при изучении сверхтекучести.

Также, существуют гипотезы о существовании так называемых Бозонных звезд, вероятных кандидатов в составляющие темной материи.

Бозе-конденсат

Бозе-конденсат - это особое состояние Бозе-газа (Конденсат Бозе — Эйнштейна) при нулевой температуре, когда большое число частиц находится в состоянии с минимальной энергией (ε=0). В таком случае квантовые эффекты проявляются на макроскопическом уровне (см. сверхтекучесть).

Классический (Максвелловский) предел

При высокой температуре функция Бозе-Эйнштейна переходит в функцию Максвелла-Больцмана, то есть распределение Бозе сменяется классическим распределением Максвелла-Больцмана.

Вариации и обобщение

• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r - целое число, последнее распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• Если в отрицательном биномиальном распределении параметр r=1, то отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением. Последнее распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .

Литература

• Бозе-Эйнштейна распределение / А. Г. Башкиров // «Банкетная кампания» 1904 — Большой Иргиз. — М. : Большая российская энциклопедия, 2005. — (Большая российская энциклопедия : [в 35 т.] / гл. ред. Ю. С. Осипов ; 2004—2017, т. 3). — ISBN 5-85270-331-1.
• Бозе-Эйнштейна распределение // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
• Бозе-Эйнштейна распределение // Казахстан. Национальная энциклопедия (рус.). — Алматы: Казахская энциклопедия, 2004. — Т. I. — ISBN 9965-9389-9-7. (CC BY-SA 3.0)
• Теоретическая физика, том 5/ Статистическая физика/ Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц

См. также

• Статистика Ферми — Дирака
• Статистика Максвелла — Больцмана
• Распределение Гиббса
• Распределение Максвелла
• Распределение Ферми — Дирака

Ссылки

При написании этой статьи использовался материал из издания «Казахстан. Национальная энциклопедия» (1998—2007), предоставленного редакцией «Казахская энциклопедия» по лицензии Creative Commons BY-SA 3.0 Unported.