Ферми-газ

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при $T=0$ равна $W_0=0$. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа $W_0$ с $N$ частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из $N$ квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия $W_0$ такого газа при $T=0$ будет отличной от нуля.

Величину $W_0$ несложно вычислить. Обозначим через ${\mu }_0$ энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при $T=0$. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже ${\mu }_0$ заняты, а все квантовые состояния с энергией выше ${\mu }_0$ — свободны.

Поэтому должно существовать ровно $N$ состояний с энергией ниже или равной ${\mu }_0$. Этого условия достаточно для нахождения ${\mu }_0$. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям $\mathbf{k}$ интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на $h^3$:

$\frac{g}{h^3}\iint 4\pi p^{2}drdp=V\frac{g}{h^3}\int 4\pi p^{2}dp,$

где $g$ — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число $g=2$, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от $p=0$ до $p_0$, величины импульса самого высокого заполненного при $T=0$ состояния с энергией ${\mu }_0=(2m{)}^{-1}{p}_0^2$, и приравнивая результат к $N$, получаем с учётом того, что $\rho =N/V$:

$N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}{p}_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi }{3}(2m{\mu }_0{)}^{3/2},$

$p_0={\left(\frac{3\rho }{4\pi g}\right)}^{1/3}h,$

${\mu }_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}{\left(\frac{3\rho }{4\pi g}\right)}^{2/3}$

или для электронов с $g=2$:

${\mu }_0=\frac{h^2}{8m}{\left(\frac{3\rho }{\pi }\right)}^{2/3},g=2.$

Величину ${\mu }_0$, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра $\beta =1/kT$ плотность числа электронов $N(\epsilon )$ в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

$\frac{3}{2}N/{\mu }_0^{3/2}\int {\epsilon }^{1/2}d\epsilon$

на множитель $\frac{1}{1+\exp [(\beta (\epsilon -\mu )]}$, который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

$N(\epsilon )=\frac{3}{2}N/{\mu }_0^{3/2}\frac{1}{1+\exp [\beta (\epsilon -\mu )]},$

где величина ${\mu }_0$ — химический потенциал при $T=0$, а $\mu$ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям $\epsilon$, то можно определить $\mu$ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}N(\epsilon )d\epsilon$ полного числа частиц $N$. Отсюда видно, что для $N(\epsilon )$ величина $\mu$ есть функция параметров ${\mu }_0$ и $\beta$.

Энергию можно найти из соотношения:

$W=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\epsilon N(\epsilon )d\epsilon ,$

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

$I=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\epsilon )g(\epsilon )d\epsilon ,$

в котором функция $f(\epsilon )$ есть некоторая простая и непрерывная функция от $\epsilon$, например ${\epsilon }^{1/2}$ или ${\epsilon }^{3/2}$, и

$g(\epsilon )=\frac{1}{1+\exp [\beta (\epsilon -\mu )]}.$

Следует отметить, что величина ${\mu }_0/k$ имеет порядок от $5\cdot {10}^4$ до ${10}^5$ К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

$\mu ={\mu }_0[1-\frac{{\pi }^2}{12}(\beta {\mu }_0{)}^{-2}-\frac{{\pi }^4}{80}(\beta {\mu }_0{)}^{-4}+\dots ],$

которое выражает химический потенциал $\mu$ через параметры $\beta$ и ${\mu }_0$.

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — $(\beta {\mu }_0{)}^{-2}\approx {10}^{-4}$. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

• Энергия Ферми
• Идеальный газ
• Квантовый газ
• Бозе-газ

Литература

• Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки

• A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
• Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729–758.
• Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004