Перейти к содержанию

Ферми-газ

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рмиДира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при T=0 равна W0=0. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа W0 с N частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из N квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия W0 такого газа при T=0 будет отличной от нуля.

Величину W0 несложно вычислить. Обозначим через μ0 энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при T=0. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже μ0 заняты, а все квантовые состояния с энергией выше μ0 — свободны.

Поэтому должно существовать ровно N состояний с энергией ниже или равной μ0. Этого условия достаточно для нахождения μ0. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям k интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на h3:

gh34πp2drdp=Vgh34πp2dp,

где g — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число g=2, для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от p=0 до p0, величины импульса самого высокого заполненного при T=0 состояния с энергией μ0=(2m)1p02, и приравнивая результат к N, получаем с учётом того, что ρ=N/V:

N=Vgh34π3p03=Vgh34π3(2mμ0)3/2,
p0=(3ρ4πg)1/3h,
μ0=p022m=h22m(3ρ4πg)2/3

или для электронов с g=2:

μ0=h28m(3ρπ)2/3,g=2.

Величину μ0, наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра β=1/kT плотность числа электронов N(ε) в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

32N/μ03/2ε1/2dε

на множитель 11+exp[(β(εμ)], который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

N(ε)=32N/μ03/211+exp[β(εμ)],

где величина μ0химический потенциал при T=0, а μ — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям ε, то можно определить μ как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в 0N(ε)dε полного числа частиц N. Отсюда видно, что для N(ε) величина μ есть функция параметров μ0 и β.

Энергию можно найти из соотношения:

W=0εN(ε)dε,

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

I=0f(ε)g(ε)dε,

в котором функция f(ε) есть некоторая простая и непрерывная функция от ε, например ε1/2 или ε3/2, и

g(ε)=11+exp[β(εμ)].

Следует отметить, что величина μ0/k имеет порядок от 5104 до 105 К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

μ=μ0[1π212(βμ0)2π480(βμ0)4+],

которое выражает химический потенциал μ через параметры β и μ0.

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — (βμ0)2104. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

Литература

  • Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки