Ферми-газ

Фе́рми-газ (или идеальный газ Фе́рми — Дира́ка) — газ, состоящий из частиц, удовлетворяющих статистике Ферми — Дирака, имеющих малую массу и высокую концентрацию. Например, электроны в металле. В первом приближении можно считать, что потенциал, действующий на электроны в металле, является постоянной величиной и благодаря сильному экранированию положительно заряженными ионами можно пренебречь электростатическим отталкиванием между электронами. Тогда электроны металла можно рассматривать как идеальный газ Ферми — Дирака — электронный газ.

Газ Ферми — Дирака при нулевой температуре

Самая низкая энергия классического газа (или газа Бозе — Эйнштейна) при [math]\displaystyle{ T=0 }[/math] равна [math]\displaystyle{ W_0=0 }[/math]. То есть при нулевой температуре все частицы падают в самое низкое состояние и теряют всю свою кинетическую энергию. Однако, для газа Ферми это невозможно. Принцип исключения Паули позволяет находиться в одном состоянии только одной ферми-частице с полуцелым спином.

Самую низкую энергию газа [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] с [math]\displaystyle{ N }[/math] частиц можно получить путём размещения по одной частице в каждом из [math]\displaystyle{ N }[/math] квантовых состояний с наименьшей энергией. Поэтому энергия [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] такого газа при [math]\displaystyle{ T=0 }[/math] будет отличной от нуля.

Величину [math]\displaystyle{ W_0 }[/math] несложно вычислить. Обозначим через [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] энергию электрона в самом высоком квантовом состоянии, которое ещё заполнено при [math]\displaystyle{ T=0 }[/math]. При нулевой температуре все квантовые состояния с энергией ниже [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] заняты, а все квантовые состояния с энергией выше [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — свободны.

Поэтому должно существовать ровно [math]\displaystyle{ N }[/math] состояний с энергией ниже или равной [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math]. Этого условия достаточно для нахождения [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math]. Поскольку объём микроскопический, трансляционные состояния находятся близко один к другому в импульсном пространстве и мы можем заменить суммирование по трансляционным квантовым состояниям [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math] интегрированием по классическому фазовому пространству, предварительно разделив на [math]\displaystyle{ h^3 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \frac{g}{h^3}\iint 4\pi p^2\,dr\,dp=V\frac{g}{h^3}\int 4\pi p^2\,dp, }[/math]

где [math]\displaystyle{ g }[/math] — число внутренних квантовых состояний, которые соответствуют внутренней энергии. Число [math]\displaystyle{ g=2 }[/math], для электронов со спином 1/2. Интегрируя последнее выражение от [math]\displaystyle{ p=0 }[/math] до [math]\displaystyle{ p_0 }[/math], величины импульса самого высокого заполненного при [math]\displaystyle{ T=0 }[/math] состояния с энергией [math]\displaystyle{ \mu_0=(2m)^{-1}p_0^2 }[/math], и приравнивая результат к [math]\displaystyle{ N }[/math], получаем с учётом того, что [math]\displaystyle{ \rho=N/V }[/math]:

[math]\displaystyle{ N=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}p_0^3=V\frac{g}{h^3}\frac{4\pi}{3}(2m\mu_0)^{3/2}, }[/math]

[math]\displaystyle{ p_0=\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{1/3}h, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mu_0=\frac{p_0^2}{2m}=\frac{h^2}{2m}\left(\frac{3\rho}{4\pi g}\right)^{2/3} }[/math]

или для электронов с [math]\displaystyle{ g=2 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mu_0=\frac{h^2}{8m}\left(\frac{3\rho}{\pi}\right)^{2/3},\quad g=2. }[/math]

Величину [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math], наивысшую энергию заполненных уровней, называют энергией Ферми.

Газ Ферми — Дирака при конечной температуре

Для ненулевых значений параметра [math]\displaystyle{ \beta=1/kT }[/math] плотность числа электронов [math]\displaystyle{ N(\varepsilon) }[/math] в энергетическом пространстве находим путём умножения квантовых плотностей состояний

[math]\displaystyle{ \frac{3}{2}N/\mu_0^{3/2}\int\varepsilon^{1/2}\,d\varepsilon }[/math]

на множитель [math]\displaystyle{ \frac{1}{1+\exp[(\beta(\varepsilon-\mu)]} }[/math], который даёт число электронов на одно квантовое состояние:

[math]\displaystyle{ N(\varepsilon)=\frac{3}{2}N/\mu_0^{3/2}\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]}, }[/math]

где величина [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] — химический потенциал при [math]\displaystyle{ T=0 }[/math], а [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — химический потенциал при данной температуре.

Если проинтегрировать эту функцию по всем значениям [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], то можно определить [math]\displaystyle{ \mu }[/math] как функцию от температуры.

Сравнивая результат, который входит в [math]\displaystyle{ \int\limits_0^\infty N(\varepsilon)\,d\varepsilon }[/math] полного числа частиц [math]\displaystyle{ N }[/math]. Отсюда видно, что для [math]\displaystyle{ N(\varepsilon) }[/math] величина [math]\displaystyle{ \mu }[/math] есть функция параметров [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \beta }[/math].

Энергию можно найти из соотношения:

[math]\displaystyle{ W=\int\limits_0^\infty\varepsilon N(\varepsilon)\,d\varepsilon, }[/math]

откуда видно, что тут мы встречаемся с задачей нахождения интеграла типа:

[math]\displaystyle{ I=\int\limits_0^\infty f(\varepsilon)g(\varepsilon)\,d\varepsilon, }[/math]

в котором функция [math]\displaystyle{ f(\varepsilon) }[/math] есть некоторая простая и непрерывная функция от [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math], например [math]\displaystyle{ \varepsilon^{1/2} }[/math] или [math]\displaystyle{ \varepsilon^{3/2} }[/math], и

[math]\displaystyle{ g(\varepsilon)=\frac{1}{1+\exp[\beta(\varepsilon-\mu)]}. }[/math]

Следует отметить, что величина [math]\displaystyle{ \mu_0/k }[/math] имеет порядок от [math]\displaystyle{ 5\cdot 10^4 }[/math] до [math]\displaystyle{ 10^5 }[/math] К для большинства металлов.

Пропуская довольно громоздкие математические выкладки, в результате получим приблизительное значение химического потенциала:

[math]\displaystyle{ \mu=\mu_0\left[1-\frac{\pi^2}{12}(\beta\mu_0)^{-2}-\frac{\pi^4}{80}(\beta\mu_0)^{-4}+\ldots\right], }[/math]

которое выражает химический потенциал [math]\displaystyle{ \mu }[/math] через параметры [math]\displaystyle{ \beta }[/math] и [math]\displaystyle{ \mu_0 }[/math].

Тут следует отметить, что эта зависимость не очень сильная, например для комнатных температур первая добавка составляет достаточно малую величину — [math]\displaystyle{ (\beta\mu_0)^{-2}\approx 10^{-4} }[/math]. Поэтому на практике, при комнатных температурах химический потенциал практически совпадает с потенциалом ферми.

См. также

Литература

Майер Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. — 2-е изд. перераб. — М.: Мир, 1980. — 544 с.

Ссылки

A Fermi gas of atoms — physicsworld.com Apr 4, 2002
Seiringer R. The Thermodynamic Pressure of a Dilute Fermi Gas / Commun. Math. Phys. — 261. — 2006. — pp. 729–758.
Fermi gas goes superfluid — physicsworld.com Jul 22, 2004