Перейти к содержанию

Правило Борна

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис
Квантовая механика
Не путать с правилом Коши-Борна[англ.] в физике кристаллов.

Правило Борна (также закон Борна) — закон квантовой механики, который рассчитывает вероятность того, что измерение квантовой системы позволит получить какой-либо результат. Назван в честь первооткрывателя, физика Макса Борна.

Правило Борна — один из ключевых принципов квантовой механики. Было много попыток вывести это правило из её различных интерпретаций, с неубедительным результатом. Так, на данный момент нет общепринятого способа вывода правила Борна из многомировой интерпретации квантовой физики[1]. Однако в рамках байесианской интерпретации квантовой физики это было сделано расширением стандартной формулы полной вероятности, принимающей во внимание размерность гильбертова пространства включённых физических систем[2].

Правило

Правило Борна гласит, что, если наблюдаемая с дискретным спектром, соответствующая эрмитову оператору, измеряется в системе с нормированной волновой функцией [math]\displaystyle{ \scriptstyle|\psi\rang }[/math] (см. Бра и кет), то:

  • результат измерения будет одним из собственных значений [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math], и, далее
  • вероятность измерения заданного собственного значения [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math] будет равна
[math]\displaystyle{ P(\lambda_i)=\lang\psi|P_i|\psi\rang }[/math],

где [math]\displaystyle{ P_i }[/math] — проектор на собственное подпространство [math]\displaystyle{ A }[/math], соответствующее [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math].

В случае, когда собственное пространство [math]\displaystyle{ A }[/math], соответствующее [math]\displaystyle{ \lambda_i }[/math], одномерно и натянуто на нормированный собственный вектор [math]\displaystyle{ \scriptstyle|\lambda_i\rang }[/math], [math]\displaystyle{ \scriptstyle P_i=|\lambda_i\rang\lang\lambda_i| }[/math], так что вероятность [math]\displaystyle{ \scriptstyle P(\lambda_i)=\lang\psi|\lambda_i\rang\lang\lambda_i|\psi\rang }[/math]. Комплексное число [math]\displaystyle{ \scriptstyle\lang\lambda_i|\psi\rang }[/math] известно как амплитуда вероятности того, что вектору состояния [math]\displaystyle{ \scriptstyle|\psi\rang }[/math] присваивается собственный вектор [math]\displaystyle{ \scriptstyle|\lambda_i\rang }[/math]. Правило Борна сводится к утверждению, что вероятность равна квадрату модуля амплитуды вероятности:

[math]\displaystyle{ P(\lambda_i) = |\lang\lambda_i|\psi\rang|^2 }[/math].

Квадрат модуля амплитуды равен произведению амплитуды и комплексно сопряженного числа.

В случае, когда спектр [math]\displaystyle{ A }[/math] не полностью дискретен, спектральная теорема доказывает существование определенной проекторнозначной меры[англ.] [math]\displaystyle{ Q }[/math], спектральной меры [math]\displaystyle{ A }[/math]. В этом случае,

  • вероятность того, что результат измерения лежит в измеримом множестве [math]\displaystyle{ M }[/math], будет определяться [math]\displaystyle{ \scriptstyle\lang\psi|Q(M)|\psi\rang }[/math].

Если мы получим волновую функцию [math]\displaystyle{ \scriptstyle\psi }[/math] для одиночной бесструктурной частицы в позиционном пространстве, это сведется к утверждению, что функция плотности вероятности [math]\displaystyle{ p(x,y,z) }[/math] для измерения положения в момент времени [math]\displaystyle{ t_0 }[/math] будет определяться так: [math]\displaystyle{ p(x,y,z)= \scriptstyle|\psi(x,y,z,t_0)|^2 }[/math].

История

Правило было сформулировано Максом Борном в статье в 1926 году[3]. В данной работе Борн решал уравнение Шрёдингера для задачи рассеяния и, вдохновленный работами Эйнштейна в области фотоэффекта[4], пришел к выводу (в примечании), что его правило дает единственно возможную интерпретацию решения. В 1954 году за эту и другие работы Борн совместно с Вальтером Боте был удостоен Нобелевской премии по физике[5]. Джон фон Нейман обсудил применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге, изданной в 1932[6].

См. также

Ссылки

  1. N.P. Landsman, «The conclusion seems to be that no generally accepted derivation of the Born rule has been given to date, but this does not imply that such a derivation is impossible in principle.» Архивная копия от 9 февраля 2016 на Wayback Machine, in Compendium of Quantum Physics (eds.) F.Weinert, K. Hentschel, D.Greenberger and B. Falkenburg (Springer, 2008), ISBN 3-540-70622-4
  2. Fuchs, C. A. QBism: the Perimeter of Quantum Bayesianism 2010. Дата обращения: 4 апреля 2014. Архивировано 13 декабря 2017 года.
  3. Zur Quantenmechanik der Stoßvorgänge, Max Born, Zeitschrift für Physik, 37, #12 (Dec. 1926), pp. 863—867 (German); English translation, On the quantum mechanics of collisions, in Quantum theory and measurement, section I.2, J. A. Wheeler and W. H. Zurek, eds., Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1983, ISBN 0-691-08316-9.
  4. «Again an idea of Einstein’s gave me the lead. He had tried to make the duality of particles — light quanta or photons — and waves comprehensible by interpreting the square of the optical wave amplitudes as probability density for the occurrence of photons. This concept could at once be carried over to the psi-function: |psi|2 ought to represent the probability density for electrons (or other particles).» Архивная копия от 12 мая 2006 на Wayback Machine from Born’s Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics
  5. Born’s Nobel Lecture on the statistical interpretation of quantum mechanics. Дата обращения: 4 апреля 2014. Архивировано 12 мая 2006 года.
  6. Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, John von Neumann, Berlin: Springer, 1932 (German); English translation Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, transl. Robert T. Beyer, Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1955.