Перейти к содержанию

Спектральная теорема

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Спектральная теорема — класс теорем о матрицах линейных операторов, дающих условия, при которых такие матрицы могут быть диагонализированы, то есть представлены в виде диагональной матрицы в некотором базисе. Эти теоремы позволяют свести вычисления, включающие диагонализируемые матрицы к гораздо более простым вычислениям, использующим соответствующие диагональные матрицы.

Понятие диагонализации, достаточно простое для случая конечномерных векторных пространств, требует некоторых уточнений при переходе к бесконечномерным векторным пространствам. Вообще говоря, спектральная теорема выделяет класс линейных операторов, которые могут моделироваться так называемыми операторами умножения[англ.] — то есть операторами вида [math]\displaystyle{ \phi\mapsto f\phi }[/math] для фиксифованной функции [math]\displaystyle{ f }[/math]. Более абстрактно, спектральная теорема является утверждением о коммутативных [math]\displaystyle{ C^* }[/math]-алгебрах.

Примерами операторов, к которым может быть применена спектральная теорема являются самосопряжённые операторы или, более общо, — нормальные операторы в гильбертовых пространствах.

Спектральная теорема также даёт каноническое разложение объемлющего векторного пространства, называемое спектральным разложением или разложением по собственным значениям.

Конечномерный случай

Спектральная теорема для Эрмитовых матриц

Для любой эрмитовой матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] на конечномерном векторном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] вещественны;
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства [math]\displaystyle{ V }[/math].
Доказательство

Спектральная теорема для унитарных матриц

Для любой унитарной матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math] на конечномерном векторном пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math] верно[1]:

  1. Все собственные значения матрицы [math]\displaystyle{ A }[/math] имеют абсолютные величины, равные [math]\displaystyle{ 1 }[/math];
  2. Собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны;
  3. Собственные вектора образуют ортогональный базис для всего пространства [math]\displaystyle{ V }[/math].
Доказательство

Нормальные матрицы

Спектральная теорема может быть распространена на несколько более широкий класс матриц. Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] является оператором на конечномерном пространстве со скалярным произведением. [math]\displaystyle{ A }[/math] называют нормальным, если [math]\displaystyle{ A A^* = A^* A }[/math]. Можно доказать, что [math]\displaystyle{ A }[/math] является нормальным тогда и только тогда, когда он является унитарно диагонализируемым. В самом деле, в соответствии с разложением Шура мы имеем [math]\displaystyle{ A = U T U^* }[/math], где [math]\displaystyle{ U }[/math] является унитарным оператором, а [math]\displaystyle{ T }[/math] — верхнетреугольным. Поскольку [math]\displaystyle{ A }[/math] является нормальным, то [math]\displaystyle{ T T^* = T^* T }[/math]. Следовательно, [math]\displaystyle{ T }[/math] является диагональным. Обратное не менее очевидно.

Другими словами, [math]\displaystyle{ A }[/math] является нормальным тогда и только тогда, когда существует унитарная матрица [math]\displaystyle{ U }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ A = U \Lambda U^* }[/math], где [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] является диагональной матрицей. При этом диагональные элементы матрицы Λ являются собственными значениями [math]\displaystyle{ A, }[/math] а векторы-столбцы матрицы [math]\displaystyle{ U }[/math] являются собственными векторами [math]\displaystyle{ A }[/math] (они, конечно, имеют единичную длину и попарно ортогональны). В отличие от эрмитова случая элементы матрицы [math]\displaystyle{ \Lambda }[/math] не обязательно вещественны.

Спектральная теорема для компактных самосопряжённых операторов

В бесконечномерных гильбертовых пространствах утверждение спектральной теоремы для компактных самосопряжённых операторов выглядит в сущности также как в конечномерном случае.

Теорема
Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] является компактным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ V }[/math]. Существует ортонормированный базис пространства [math]\displaystyle{ V }[/math], состоящий из собственных векторов оператора [math]\displaystyle{ A }[/math]. При этом все собственные значения вещественны.

Так же как и в случае эрмитовых матриц ключевым моментом является доказательство существования хоть одного собственного вектора. В бесконечномерном случае невозможно использовать определители для доказательства существования собственных векторов, но можно использовать соображения максимизации, аналогичные вариационной характеризации собственных значений. Приведённая выше спектральная теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных гильбертовых пространств.

Без предположения о компактности становится неверным утверждение о том, что всякий самосопряжённый оператор имеет собственный вектор.

Спектральная теорема для ограниченных самосопряжённых операторов

Следующее обобщение, которое мы рассмотрим, касается ограниченных самосопряжённых операторов в гильбертовых пространствах. Такие операторы могут не иметь собственных значений (например, таков оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] умножения на независимую переменную в пространстве [math]\displaystyle{ L^2[0,1] }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \left[ A \phi \right] (t) = t \phi(t) }[/math].

Теорема
Пусть [math]\displaystyle{ A }[/math] является ограниченным самосопряжённым оператором в гильбертовом пространстве [math]\displaystyle{ H }[/math]. Тогда существует пространство с мерой [math]\displaystyle{ \left(X, \Sigma, \mu \right) }[/math], вещественнозначная измеримая функция [math]\displaystyle{ f }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] и унитарный оператор [math]\displaystyle{ U : H \rightarrow L^2_{\mu}(X) }[/math] такие, что [math]\displaystyle{ U^* T U = A }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] является оператором умножения[англ.], то есть [math]\displaystyle{ \left[ T \phi \right] (x) = f(x) \phi (x) }[/math].

С этой теоремы начинается обширная область исследований по функциональному анализу, называемая теорией операторов.

Аналогичная спектральная теорема справедлива для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница состоит в том, что теперь [math]\displaystyle{ f }[/math] может быть комплекснозначной.

Альтернативная формулировка спектральной теоремы позволяет записать оператор [math]\displaystyle{ A }[/math] как интеграл, взятый по спектру оператора, от координатной функции по проекционной мере[англ.]. В случае когда рассматриваемый нормальный оператор является компактным, эта версия спектральной теоремы сводится к приведённой выше конечномерной спектральной теореме (с той оговоркой, что теперь линейная комбинация может содержать бесконечно много проекторов).

Спектральная теорема для общих самосопряжённых операторов

Многие важные линейные операторы, возникающие в математическом анализе, не являются ограниченными. Например, таковы дифференциальные операторы. Имеется спектральная теорема для самосопряжённых операторов, которая работает для неограниченных операторов. Например, любой дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами унитарно эквивалентен оператору умножения (соответствующим унитарным оператором является преобразование Фурье, а соответствующий оператор умножения называют мультипликатором Фурье[англ.]).

Литература

Примечания

  1. ↑ Перейти обратно: 1,0 1,1 A. Eremenko. Spectral Theorems for Hermitian and unitary matrices (англ.). Purdue science, Department of Mathematics (26 октября 2017). Дата обращения: 19 февраля 2019. Архивировано 20 февраля 2019 года.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Спектральная_теорема&oldid=5835692