Метрическое пространство

Не следует путать с метрическим тензором — квадратичной формой, которая задает скалярное произведение.

Метри́ческим простра́нством называется множество, в котором между любой парой элементов определено расстояние.

Определения

Метрическое пространство есть пара $(X,d)$, где $X$ — множество, а $d$ — числовая функция, которая определена на декартовом произведении $X\times X$, принимает значения в множестве неотрицательных вещественных чисел, и такова, что

1. $d(x,y)=0⟺x=y$ (аксиома тождества).
2. $d(x,y)=d(y,x)$ (аксиома симметрии).
3. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ (аксиома треугольника или неравенство треугольника).

При этом

• множество $X$ называется подлежащим множеством метрического пространства.
• элементы множества $X$ называются точками метрического пространства.
• функция $d$ называется метрикой.

Замечания

• Из аксиом следует неотрицательность функции расстояния, поскольку

  $0=d(x,x)⩽d(x,y)+d(y,x)=2\cdot d(x,y)$.

• Если неравенство треугольника представить в виде

  $d(x,y)⩽d(x,z)+d(y,z)$ для всех $x$, $y$ и $z$,

тогда из аксиомы тождества и неравенства треугольника следует аксиома симметрии.

• Эти условия выражают интуитивные понятия о концепции расстояния и поэтому называются аксиомами расстояния. Например, что расстояние между различными точками положительно и расстояние от $x$ до $y$ то же самое, что и расстояние от $y$ до $x$. Неравенство треугольника означает, что расстояние от $x$ до $z$ через $y$ не меньше, чем прямо от $x$ до $z$.

Обозначения

Обычно расстояние между точками $x$ и $y$ в метрическом пространстве $M$ обозначается $d(x,y)$ или $\rho (x,y)$.

• В метрической геометрии принято обозначение $|xy|$ или $|xy{|}_M$, если необходимо подчеркнуть, что речь идёт о $M$. Также употребляются обозначения $|x-y|$ и $|x-y{|}_M$ (несмотря на то, что выражение $x-y$ для точек $x$ и $y$ не имеет смысла).
• В классической геометрии приняты обозначения $XY$ или $|XY|$ (точки обычно обозначают заглавными латинскими буквами).

Связанные определения

• Биекция между различными метрическими пространствами $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$, сохраняющая расстояния, называется изометрией;
  • В этом случае пространства $(X,d_X)$ и $(Y,d_Y)$ называются изометричными.
• Если $x_n\in X$, $x\in X$ и $d(x_n,x)\to 0$ при $n\to \mathrm{\infty }$, то говорят, что $x_n$ сходится к $x$: $x_n\to x$.
• Если $M$ подмножество множества $X$, то, рассматривая сужение $d_M=d_X{|}_M$ метрики $d_X$ на множество $M$, можно получить метрическое пространство $(M,d_M)$, которое называется подпространством пространства $(X,d)$.
• Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность в нём сходится к некоторому элементу этого пространства.

• Метрика $d$ на $M$ называется внутренней, если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, произвольно близкой к $d(x,y)$.
  • Пространство называется геодезическим если любые две точки $x$ и $y$ в $M$ можно соединить кривой с длиной, равной $d(x,y)$.
• Любое метрическое пространство обладает естественной топологией, базой для которой служит множество открытых шаров, то есть множеств следующего типа:

$B(x;r)=\{y\in M\mid d(x,y)<r\},$

где $x$ есть точка в $M$ и $r$ — положительное вещественное число, называемое радиусом шара. Иначе говоря, множество $O$ является открытым, если вместе с любой своей точкой оно содержит открытый шар с центром в этой точке.

• Две метрики, определяющие одну и ту же топологию, называются эквивалентными.
• Топологическое пространство, которое может быть получено таким образом, называется метризируемым.
• Расстояние $d(x,S)$ от точки $x$ до подмножества $S$ в $M$ определяется по формуле:

$d(x,S)=inf\{d(x,s)\mid s\in S\}$.

Тогда $d(x,S)=0$, только если $x$ принадлежит замыканию $S$.

Примеры

• Дискретная метрика: $d(x,y)=0$, если $x=y$, и $d(x,y)=1$ во всех остальных случаях.
• Вещественные числа с функцией расстояния $d(x,y)=|y-x|$ и евклидово пространство являются полными метрическими пространствами.
• Расстояние городских кварталов: $d(\mathbf{p},\mathbf{q})=\Vert \mathbf{p}-\mathbf{q}\Vert =\sum _{i=1}^n|p_i-q_i|$, где $\mathbf{p}=(p_1,p_2,\dots ,p_n)$, $\mathbf{q}=(q_1,q_2,\dots ,q_n)$ — векторы.
• Пусть $F(X,Y)$ — пространство непрерывных и ограниченных отображений из топологического пространства $X$ в метрическое пространство $Y$. Расстояние между двумя отображениями $f_1$ и $f_2$ из этого пространства определяется как

  $d_F(f_1,f_2)=sup\{d_Y(f_1(x),f_2(x)):x\in X\}$.

Сходимость отображений по этой метрике равнозначна их равномерной сходимости на всём пространстве $X$.

В частном случае, когда $X$ — компактное пространство, $Y$ — числовая прямая, получается пространство $C(X)$ всех непрерывных функций на пространстве $X$ с метрикой равномерной сходимости.

• Пусть $L([a,b])$, $R([a,b])$, $C([a,b])$ — пространства функций на отрезке $[a,b]$, соответственно интегрируемых по Лебегу, интегрируемых по Риману, и непрерывных. В них расстояние можно определить по формуле:

  $d(f_1,f_2)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}|f_1(x)-f_2(x)|dx.$

Для того, чтобы эта функция стала метрикой, в первых двух пространствах необходимо отождествить функции, отличающиеся на множестве меры 0. В противном случае эта функция будет всего лишь полуметрикой. (В пространстве функций, непрерывных на отрезке, функции, отличающиеся на множестве меры 0, и так совпадают.)

• В пространстве $k$ раз непрерывно дифференцируемых функций $C^k([a,b])$ метрика вводится по формуле:

  $d_k(f_1,f_2)=max\{d_0(f_1,f_2),d_0(f_1^{\prime },f_2^{\prime }),\dots ,d_0(f_1^{(k)},f_2^{(k)})\}$,

где $d_0$ — метрика равномерной сходимости на $C([a,b])$ (см. выше).

• Любое нормированное пространство можно превратить в метрическое, определив функцию расстояния

  $d(x,y)=\Vert y-x\Vert$.

  • Конечномерные пространства такого типа называются пространством Минковского;
  • В случае размерности, равной двум — плоскостью Минковского.

• Если $(p_n{)}_{n\in N}$ является последовательностью полунорм, определяющих (локально выпуклое) топологическое векторное пространство $E$, то

$d(x,y)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n}\frac{p_n(x-y)}{1+p_n(x-y)}$

является метрикой, определяющей ту же топологию. (Можно заменить $\frac{1}{2^n}$ на любую суммируемую последовательность $(a_n)$ строго положительных чисел.)

• Любое связное риманово многообразие $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как точную нижнюю грань длин путей, соединяющих пару точек.

• Множество вершин любого связного графа $G$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние как минимальное число рёбер в пути, соединяющем вершины. Более общо: если каждому ребру графа приписать положительное число (длину ребра), расстояние между вершинами можно определить как минимальную сумму длин рёбер вдоль любых путей из одной вершины в другую.
  • Частным случаем предыдущего примера является так называемая французская железнодорожная метрика, которую нередко приводят в качестве примера метрики, не порождённой нормой.
• Расстояние редактирования графа определяет функцию расстояния между графами.

• Расстояние Хэмминга в теории кодирования.
• Строковые метрики, такие как расстояние Левенштейна и другие расстояния редактирования текста определяют расстояние над строками.

• Множество компактных подмножеств $K(M)$ любого метрического пространства $M$ можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Хаусдорфа. В этой метрике два подмножества близки друг к другу, если для любой точки одного множества можно найти близкую точку в другом подмножестве. Вот точное определение:

$D(X,Y)=inf\left\{r|\begin{array}{c}\mathrm{\forall }x\in X\mathrm{\exists }y\in Y:d(x,y)<r\\ \mathrm{\forall }y\in Y\mathrm{\exists }x\in X:d(x,y)<r\end{array}\right\}$.

• Множество всех компактных метрических пространств (с точностью до изометрии) можно превратить в метрическое пространство, определив расстояние с помощью так называемой метрики Громова — Хаусдорфа.
• Метрика Васерштейна определяет расстояние между двумя распределениями вероятностей.

Конструкции

• Декартово произведение метрических пространств может быть наделено структурой метрического пространства многими способами, например:
  1. $d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=d_X(x_1,x_2)+d_Y(y_1,y_2);$
  2. $d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=\sqrt{d_X(x_1,x_2{)}^2+d_Y(y_1,y_2{)}^2};$
  3. $d_{X\times Y}((x_1,y_1),(x_2,y_2))=max\{d_X(x_1,x_2),d_Y(y_1,y_2)\}.$

Эти метрики эквивалентны друг другу.

Свойства

• Метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности точек можно выбрать сходящуюся подпоследовательность (секвенциальная компактность).
• Метрическое пространство может не иметь счётной базы, но всегда удовлетворяет первой аксиоме счётности — имеет счётную базу в каждой точке.
  • Более того, каждый компакт в метрическом пространстве имеет счётную базу окрестностей.
  • Сверх того, в каждом метрическом пространстве существует такая база, что каждая точка пространства принадлежит лишь счётному множеству её элементов — точечно-счётная база (но это свойство слабее метризуемости даже в присутствии паракомпактности и хаусдорфовости).
• метрические пространства с короткие отображениями образуют категорию, обычно обозначаемую Met.

Вариации и обобщения

• Для данного множества $M$, функция $d:M\times M\to \mathbb{R}$ называется псевдометрикой или полуметрикой на $M$ если для любых точек $x,y,z$ из $M$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. $d(x,x)=0$;
  2. $d(x,y)=d(y,x)$ (симметрия);
  3. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника).

То есть, в отличие от метрики, различные точки в $M$ могут находиться на нулевом расстоянии. Псевдометрика естественно определяет метрику на факторпространстве $M/\sim$, где $x\sim y⟺d(x,y)=0$.

• Для данного множества $M$ функция $d:M\times M\to \mathbb{R}$ называется квазиметрикой, если для любых точек $x$, $y$, $z$ из $M$ она удовлетворяет следующим условиям:
  1. $d(x,x)=0$;
  2. $d(x,y)⩽c\cdot d(y,x)$ (квазисимметрия);
  3. $d(x,z)⩽c\cdot (d(x,y)+d(y,z))$ (обобщённое неравенство треугольника).
• Метрика на пространстве называется ультраметрикой, если она удовлетворяет сильному неравенству треугольника:

  Для всех $x$, $y$ и $z$ в $M$ $d(x,z)⩽max(d(x,y),d(y,z))$.

• Иногда удобно рассматривать $\mathrm{\infty }$-метрики, то есть метрики со значениями $[0;\mathrm{\infty }]$. Для любой $\mathrm{\infty }$-метрики можно построить конечную метрику, которая определяет ту же топологию. Например,

  $d^{\prime }(x,y)=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}$ или $d^{″}(x,y)=min(1,d(x,y)).$

Также, для любой точки $x$ такого пространства, множество точек, находящихся от неё на конечном расстоянии, образует обычное метрическое пространство, называемое метрической компонентой $x$. В частности, любое пространство с $\mathrm{\infty }$-метрикой можно рассматривать как набор обычных метрических пространств и определить расстояние между любой парой точек в разных пространствах равным $\mathrm{\infty }$.

• Иногда квазиметрика определяется как функция, удовлетворяющая всем аксиомам для метрики за возможным исключением симметрии. Название этого обобщения не вполне устоялось. В своей книге Смит называет их «полуметриками». Тот же термин используется часто также для двух других обобщений метрик.
  1. $d(x,y)⩾0$ (положительность)
  2. $d(x,y)=0⟺x=y$ (положительная определённость)
  3. d(x, y)=d(y, x) (симметрия вычеркнута)
  4. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$ (неравенство треугольника)

Примеры квазиметрики встречаются в реальной жизни. Например, если дано множество $X$ горных сёл, время прогулки между элементами $X$ образует квазиметрику, поскольку восхождение вверх занимает больше времени, чем спуск вниз. Другим примером является топология городских кварталов, имеющих улицы с односторонним движением, когда путь из точки $A$ в точку $B$ состоит из различного набора улиц по сравнению с путём из $B$ в $A$.

• В метаметрике все аксиомы метрики выполняются, за исключением того, что расстояние между идентичными точками не обязательно равно нулю. Другими словами, аксиомами для метаметрики являются:
  1. $d(x,y)⩾0$
  2. из $d(x,y)=0$ следует $x=y$ (но не наоборот.)
  3. $d(x,y)=d(y,x)$
  4. $d(x,z)⩽d(x,y)+d(y,z)$.

Метаметрики появляются при изучении гиперболических метрических пространств Громова и их границ. Визуальная метаметрика на таком пространстве удовлетворяет равенству $d(x,x)=0$ для точек $x$ на границе, но в противном случае $d(x,x)$ примерно равно расстоянию от $x$ до границы. Метаметрики первым определил Юсси Вяйсяля.

• Ослабление последних трёх аксиом ведёт к понятию преметрики, то есть функции, удовлетворяющей условиям:
  1. $d(x,y)⩾0$
  2. $d(x,x)=0$

Термин не устоялся, иногда он используется для обобщения других метрик, таких как псевдополуметрики или псевдометрики. В русскоязычной литературе (и в переводах с русского) этот термин иногда появляется как «праметрика».

Любая преметрика приводит к топологии следующим образом. Для положительного вещественного $r$ определяется $r$-шар с центром в точке $p$ как

$B_r(p)=\{x\mid d(x,p)<r\}$. Множество называется открытым, если для любой точки $p$ в множестве существует $r$-шар с центром в $p$, который содержится в множестве. Любое преметрическое пространство является топологическим пространством и, фактически, секвенциальным пространством. В общем случае сами $r$-шары не обязаны быть открытыми множествами согласно этой топологии. Как и для метрик, расстояние между двумя множествами $A$ и $B$ определяется как

$d(A,B)=\underset{x\in A,y\in B}{inf}d(x,y)$.

Это определяет преметрику на булеане преметрического пространства. Если мы начинаем с (псевдополу-)метрического пространства, мы получим псевдополуметрику, то есть, симметричную преметрику. Любая преметрика приводит к оператору предзамыкания $\mathrm{cl}$:

$\mathrm{cl}(A)=\{x\mid d(x,A)=0\}$.

• Префиксы псевдо-, квази- и полу- могут комбинироваться, например, псевдоквазиметрика (иногда называемая гемиметрикой) ослабляет как аксиому неразличимости, так и аксиому симметрии, и является просто преметрикой, удовлетворяющей неравенству треугольника. Для псевдоквазиметрических пространств открытые $r$-шары образуют базис открытых множеств. Простейшим примером псевдоквазиметрического пространства служит множество $\{0,1\}$ с преметрикой, задаваемой функцией $d$, такой что $d(0,1)=1$ и $d(1,0)=0$. Ассоциированное топологическое пространство является пространством Серпинского.

Множества, оснащённые расширенной псевдоквазиметрикой, изучал Уильям Ловер как «обобщённые метрические пространства». С категорной точки зрения расширенные псевдометрические пространства и расширенные псевдоквазиметрические пространства вместе с их соответствующими нерасширяющимися отображениями лучше всего ведут себя на категориях метрических пространств. Можно взять произвольные произведения и копроизведения и образовать фактор-объект с данной категорией. Если опустить слово «расширенная», можно взять только конечные произведения и копроизведения. Если опустить «псевдо», нельзя будет получить фактор-объекты. Пространства подходов являются обобщением метрических пространств, учитывающим эти хорошие категориальные свойства.

• Линейное пространство $V(F)$ называется линейным метрическим пространством, если в нём задано расстояние между его элементами и алгебраические операции непрерывны в его метрике, т. е.:
  1. $x_n\to x,y_n\to y\Rightarrow x_n+y_n\to x+y$
  2. $x_n\to x,{\lambda }_n\to \lambda \Rightarrow {\lambda }_n{x}_n\to \lambda x$
  • Пример: Линейное пространство всех комплексных последовательностей можно превратить в линейное метрическое пространство при помощи введения расстояния между его элементами с помощью формулы:

    $d(x,y)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^i}\frac{|x_i-y_i|}{1+|x_i-y_i|}$

• Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

  $\sum _{i<j}{b}_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0$

для любых точек $x_1,\dots ,x_n$ и целых чисел $b_1,\dots ,b_n$ таких, что $\sum b_i=1$.

• Заметим, что при $b_1=b_2=1$ и $b_3=-1$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

$|x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0.$

• Пример гиперметрического пространства: ${\ell }_1$-пространство.

История

Морис Фреше впервые ввёл понятие метрического пространства в связи с рассмотрением функциональных пространств.

Литература

• Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — 2004. — ISBN 5-93972-300-4.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1990. — № 1.
• Васильев Н. Метрические пространства. — Квант. — 1970. — № 10.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Шрейдер Ю. А. Что такое расстояние? // «Популярные лекции по математике». — М.: Физматгиз, 1963 г. — Выпуск 38. — 76 с.
• Lawvere, F. William (2002), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Reprints in Theory and Applications of Categories (no. 1): 1–37, <http://tac.mta.ca/tac/reprints/articles/1/tr1.pdf> ; reprinted with added commentary from Lawvere, F. William (1973), Metric spaces, generalized logic, and closed categories, Rendiconti del Seminario Matematico e Fisico di Milano Т. 43: 135–166 (1974), DOI 10.1007/BF02924844 
• Ruben Aldrovandi, J. G. Pereira. An introduction to geometrical physics : [англ.]. — Singapore : World Scientific, 1995. — 699 с. — ISBN 9810222327. — ISBN 9789810222321.
• Rolewicz, Stefan (1987), Functional Analysis and Control Theory: Linear Systems, Springer, ISBN 90-277-2186-6 
• Smyth, M. (1987), Quasi uniformities: reconciling domains with metric spaces, in Main, M.; Melton, A. & Mislove, M. et al., 3rd Conference on Mathematical Foundations of Programming Language Semantics, vol. 298, Lecture Notes in Computer Science, Springer-Verlag, с. 236–253, DOI 10.1007/3-540-19020-1_12 
• Steen, Lynn Arthur & Seebach, J. Arthur Jr. (1995), Counterexamples in Topology, Dover, ISBN 978-0-486-68735-3 
• Väisälä, Jussi (2005), Gromov hyperbolic spaces, Expositiones Mathematicae Т. 23 (3): 187–231, doi:10.1016/j.exmath.2005.01.010, <http://www.helsinki.fi/~jvaisala/grobok.pdf> 
• Vickers, Steven (2005), Localic completion of generalized metric spaces, I, Theory and Applications of Categories Т. 14 (15): 328–356, <https://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/15/14-15abs.html>  Архивная копия от 26 апреля 2021 на Wayback Machine
• Архангельский А. В., Федорчук В. В. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Том 17. — ВИНИТИ, 1988. — 232 с.
• Булдыгин В. В., Козаченко Ю. В. Метрические характеристики случайных величин и процессов. — К. : ТВіМС, 1998. — 290 с.
• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу (рус.). — Москва: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), Metric space, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Far and near — several examples of distance functions at cut-the-knot.