Перейти к содержанию

Метрика Громова — Хаусдорфа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Метрика Громова — Хаусдорфа — способ определить расстояние между двумя компактными метрическими пространствами. Более точно, это метрика на множестве изометрических классов компактных метрических пространств.

Эта метрика была введена Эдвардсом в 1975 г.[1][2], а затем переоткрыта и обобщена М. Л. Громовым в 1981 г.[3]. Громов использовал эту метрику в доказательстве теоремы о группах полиномиального роста.

Определение

Расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами компактных метрических пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] определяется как точная нижняя грань расстояний Хаусдорфа между их образами при глобально изометрических вложениях [math]\displaystyle{ X\hookrightarrow Z }[/math] и [math]\displaystyle{ Y\hookrightarrow Z }[/math] в общее метрическое пространство [math]\displaystyle{ Z }[/math]. При этом точная нижняя грань берётся как по всем глобально изометрическим вложениям и по всем пространствам [math]\displaystyle{ Z }[/math].

Эквивалентным образом, можно определить расстояние Громова — Хаусдорфа как точную нижнюю грань расстояний Хаусдорфа между [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] в дизъюнктном объединении [math]\displaystyle{ X\sqcup Y }[/math], снабжённым метрикой [math]\displaystyle{ \rho }[/math] такой, что сужение [math]\displaystyle{ \rho }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] совпадает с метрикой на [math]\displaystyle{ X }[/math] и сужение [math]\displaystyle{ \rho }[/math] на [math]\displaystyle{ Y }[/math] совпадает с метрикой на [math]\displaystyle{ Y }[/math]. При этом точная нижняя грань берётся по всем таким метрикам [math]\displaystyle{ \rho }[/math].

Комментарии

  • Часто слова «изометрический класс» опускаются, то есть вместо «расстояние Громова — Хаусдорфа между изометрическими классами [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]» говорится «расстояние Громова — Хаусдорфа между [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math]».
  • Расстояние между изометрическими классами [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ d_{GH}(X,Y) }[/math] или [math]\displaystyle{ |X,Y|_{GH} }[/math].
  • Множество изометрических классов компактных метрических пространств, снабжённых метрикой Громова — Хаусдорфа, обычно обозначается [math]\displaystyle{ GH }[/math], [math]\displaystyle{ \mathcal{M} }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathfrak{M} }[/math].
  • Собственный класс метрических пространств, рассматриваемых с точностью до изометрий обозначается [math]\displaystyle{ \mathcal{GH} }[/math].

Связанные определения

  • Последовательность изометрических классов компактных метрических пространств [math]\displaystyle{ X_n }[/math] сходится к изометрическому классу компактного метрического пространства [math]\displaystyle{ X_\infty }[/math], если [math]\displaystyle{ d_{GH}(X_n,X_\infty)\to0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n\to\infty }[/math]

Свойства

  • Метрическое пространство [math]\displaystyle{ GH }[/math] является линейно связным, полным, сепарабельным.
    • Более того, [math]\displaystyle{ M }[/math] является геодезическим[4]; то есть, любые две его точки соединяются кратчайшей кривой, длина которой равна расстоянию между этими точками.
  • Пространство Громова — Хаусдорфа [math]\displaystyle{ GH }[/math] глобально неоднородно; то есть, его группа изометрий тривиальна[5], однако локально имеется много нетривиальных изометрий[6].
  • Пространство [math]\displaystyle{ GH }[/math] изометрично пространству классов конгруэнтности компактных подмножеств пространства Урысона [math]\displaystyle{ \mathcal{U} }[/math] с метрикой Хаусдорфа с точностью до движения [math]\displaystyle{ \mathcal{U} }[/math].[7]
  • Любое вполне равномерно ограниченное семейство метрических пространств является относительно компактным в метрике Громова — Хаусдорфа.
    • Семейство [math]\displaystyle{ X }[/math] метрических пространств называется вполне равномерно ограниченным, если диаметры всех пространств этого семейства ограничены одной и той же константой, и для любого [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] существует такое целое положительное число [math]\displaystyle{ N(\varepsilon) }[/math], что любое пространство из [math]\displaystyle{ X }[/math] допускает [math]\displaystyle{ \varepsilon }[/math]-сеть из не более чем [math]\displaystyle{ N(\varepsilon) }[/math] точек.
    • Из этого свойства, в частности, следует теорема Громова о компактности, аналогичная теореме выбора Бляшке для метрики Хаусдорфа.

Вариации и обобщения

  • В определении возможно заменить компактность на конечность диаметра, но при этом мы определим метрику на классе объектов (а не на множестве). То есть формально говоря, класс всех изометрических классов метрических пространств с конечным диаметром, снабжённый метрикой Громова — Хаусдорфа, не является метрическим пространством.
  • Если разрешить метрике принимать значение [math]\displaystyle{ \infty }[/math], то можно также отказаться от конечности диаметра.

Примечания

  1. ↑ D. Edwards, «The Structure of Superspace Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine», in «Studies in Topology», Academic Press, 1975
  2. ↑ A. Tuzhilin, «Who Invented the Gromov-Hausdorff Distance? Архивная копия от 20 декабря 2016 на Wayback Machine (2016)», arXiv:1612.00728
  3. ↑ M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 Архивировано 29 ноября 2016 года.
  4. ↑ A. Ivanov, N. Nikolaeva, A. Tuzhilin (2015), The Gromov–Hausdorff Metric on the Space of Compact Metric Spaces is Strictly Intrinsic, arXiv:1504.03830, <http://arxiv.org/pdf/1504.03830.pdf> 
  5. ↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2018), The Isometry Group of Gromov–Hausdorff Space, arXiv:1806.02100, <https://arxiv.org/pdf/1806.02100.pdf>  Архивная копия от 13 июня 2018 на Wayback Machine
  6. ↑ A. Ivanov, A. Tuzhilin (2015), Local Structure of Gromov–Hausdorff Space near Finite Metric Spaces in General Position, arXiv:1611.04484, <https://arxiv.org/pdf/1611.04484.pdf>  Архивная копия от 13 июня 2018 на Wayback Machine
  7. ↑ A. Petrunin. Pure metric geometry: introductory lectures (англ.). — 2020. arXiv:2007.09846

Литература

  • M. Gromov. «Structures métriques pour les variétés riemanniennes», edited by Lafontaine and Pierre Pansu, 1981.
  • M. Gromov. Metric structures for Riemannian and non-Riemannian spaces, Birkhäuser (1999). ISBN 0-8176-3898-9 (translation with additional content).
  • Бураго Д. Ю., Бураго Ю. Д., Иванов С. В. Курс метрической геометрии. — М., Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 512 с. — ISBN 5-93972-300-4.
Источник — https://xn--h1ajim.xn--p1ai/index.php?title=Метрика_Громова_—_Хаусдорфа&oldid=5817862