Метрика Хаусдорфа

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] суть два непустых компактных подмножества метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда расстояние по Хаусдорфу, [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y) }[/math], между [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] есть минимальное число [math]\displaystyle{ r }[/math] такое, что замкнутая [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестность [math]\displaystyle{ X }[/math] содержит [math]\displaystyle{ Y }[/math] и также замкнутая [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестность [math]\displaystyle{ Y }[/math] содержит [math]\displaystyle{ X }[/math].

Замечания

• Другими словами, если [math]\displaystyle{ |xy| }[/math] обозначает расстояние между точками [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] то

  [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}. }[/math]

• Эквивалентное определение:

  [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y)=\sup_{m\in M}\left\{\,|\mathrm{dist}_X(m)-\mathrm{dist}_Y(m)|\,\right\}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathrm{dist}_X\colon M\to\R }[/math] обозначает функцию расстояния до множества [math]\displaystyle{ X }[/math].

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] с метрикой Хаусдорфа:

• Топология пространства [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] полностью определяется топологией [math]\displaystyle{ M }[/math].
• (Теорема выбора Бляшке) [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] компактно тогда и только тогда, когда компактно [math]\displaystyle{ M }[/math].
• [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] полно тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ M }[/math] полное.

Вариации и обобщения

• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
• Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
• В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] два компактных подмножества евклидова пространства, тогда [math]\displaystyle{ D_H(X,\;Y) }[/math] определяется как минимум [math]\displaystyle{ d_H\bigl(I(X),\;Y\bigr) }[/math] по всем движениям евклидова пространства [math]\displaystyle{ I }[/math]. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
• Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Литература

• Бляшке. Круг и шар. — М.: Наука, 1967.
• Скворцов В. А. Примеры метрических пространств // Библиотека «Математическое просвещение» Архивная копия от 12 января 2014 на Wayback Machine. — 2001. — Выпуск 9.
• Хаусдорф «Теория множеств»