Перейти к содержанию

Метрика Хаусдорфа

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Метрика Хаусдорфа есть естественная метрика, определённая на множестве всех непустых компактных подмножеств метрического пространства. Таким образом, метрика Хаусдорфа превращает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства в метрическое пространство.

По-видимому, первое упоминание этой метрики содержится в книге Хаусдорфа «Теория множеств», первое издание 1914 года. Двумя годами позже, та же метрика описывается в книге Бляшке «Круг и шар», возможно независимо, так как не содержит ссылки на книгу Хаусдорфа.

Определение

Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] суть два непустых компактных подмножества метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math]. Тогда расстояние по Хаусдорфу, [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y) }[/math], между [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] есть минимальное число [math]\displaystyle{ r }[/math] такое, что замкнутая [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестность [math]\displaystyle{ X }[/math] содержит [math]\displaystyle{ Y }[/math] и также замкнутая [math]\displaystyle{ r }[/math]-окрестность [math]\displaystyle{ Y }[/math] содержит [math]\displaystyle{ X }[/math].

Замечания

  • Другими словами, если [math]\displaystyle{ |xy| }[/math] обозначает расстояние между точками [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] в [math]\displaystyle{ M }[/math] то
    [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y)=\max\left\{\sup_{x\in X}\inf_{y\in Y}|xy|,\;\sup_{y\in Y}\inf_{x\in X}|xy|\right\}. }[/math]
  • Эквивалентное определение:
    [math]\displaystyle{ d_H(X,\;Y)=\sup_{m\in M}\left\{\,|\mathrm{dist}_X(m)-\mathrm{dist}_Y(m)|\,\right\}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ \mathrm{dist}_X\colon M\to\R }[/math] обозначает функцию расстояния до множества [math]\displaystyle{ X }[/math].

Свойства

Пусть [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] обозначает множество всех непустых компактных подмножеств метрического пространства [math]\displaystyle{ M }[/math] с метрикой Хаусдорфа:

  • Топология пространства [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] полностью определяется топологией [math]\displaystyle{ M }[/math].
  • (Теорема выбора Бляшке) [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] компактно тогда и только тогда, когда компактно [math]\displaystyle{ M }[/math].
  • [math]\displaystyle{ F(M) }[/math] полно тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ M }[/math] полное.

Вариации и обобщения

  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех замкнутых подмножеств метрического пространства, в этом случае расстояние между некоторыми подмножествами может равняться бесконечности.
  • Иногда метрика Хаусдорфа рассматривается на множестве всех подмножеств метрического пространства. В этом случае она является только псевдометрикой и не является метрикой, так как «расстояние» между различными подмножествами может равняться нулю.
  • В евклидовой геометрии, часто применяется метрика Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Пусть [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] два компактных подмножества евклидова пространства, тогда [math]\displaystyle{ D_H(X,\;Y) }[/math] определяется как минимум [math]\displaystyle{ d_H\bigl(I(X),\;Y\bigr) }[/math] по всем движениям евклидова пространства [math]\displaystyle{ I }[/math]. Строго говоря, эта метрика на пространстве классов конгруэнтности компактных подмножеств евклидова пространства.
  • Метрика Громова — Хаусдорфа аналогична метрике Хаусдорфа с точностью до конгруэнтности. Она превращает множество (изометрических классов) компактных метрических пространств в метрическое пространство.

Примечания

Литература