Lp (пространство)

Для термина «LP» см. также другие значения.

[math]\displaystyle{ L^p }[/math] (также встречается обозначение [math]\displaystyle{ L_p }[/math]; читается «эль-пэ»; также — лебеговы пространства) — это пространства измеримых функций, таких, что их [math]\displaystyle{ p }[/math]-я степень интегрируема, где [math]\displaystyle{ p \geqslant 1 }[/math].

[math]\displaystyle{ L^p }[/math] — важнейший класс банаховых пространств. [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] (читается «эль-два») — классический пример гильбертова пространства.

Построение

Для построения пространств [math]\displaystyle{ L^p }[/math] используются [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p }[/math]-пространства. Пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] для пространства с мерой [math]\displaystyle{ (X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] и [math]\displaystyle{ 1 \leqslant p \lt \infty }[/math] — множество измеримых функций, определённых на этом пространстве, таких что:

[math]\displaystyle{ \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \lt \infty }[/math].

Как следует из элементарных свойств интеграла Лебега и неравенства Минковского, пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] линейно.

На линейном пространстве [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] вводится полунорма:

[math]\displaystyle{ \|f\|_p = \left( \int\limits_X |f(x)|^p\, \mu(dx) \right) ^{\frac{1}{p}} }[/math].

Неотрицательность и однородность следуют напрямую из свойств интеграла Лебега, а неравенство Минковского является неравенством треугольника для этой полунормы

Далее, на [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p }[/math] вводится отношение эквивалентности: [math]\displaystyle{ f \sim g }[/math], если [math]\displaystyle{ f(x) = g(x) }[/math] почти всюду. Это отношение разбивает пространство [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p }[/math] на непересекающиеся классы эквивалентности, причём полунормы любых двух представителей одного и того же класса совпадают. На построенном факторпространстве (то есть семействе классов эквивалентности) [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^p/\sim }[/math] можно ввести норму, равную полунорме любого представителя данного класса. По определению, все аксиомы полунормы сохранятся, и вдобавок в силу изложенного построения оказывается выполненной и положительная определённость.

Факторпространство [math]\displaystyle{ \left(\mathcal{L}^p/\!\sim,\; \|\cdot\|_p\right) }[/math] с построенной на нём нормой, и называется пространством [math]\displaystyle{ L^p(X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] или просто [math]\displaystyle{ L^p }[/math].

Чаще всего данное построение имеют в виду, но не упоминают явно, а элементами [math]\displaystyle{ L^p }[/math] называют не классы эквивалентности функций, а сами функции, определённые «с точностью до меры нуль».

При [math]\displaystyle{ 0\lt p\lt 1 }[/math] [math]\displaystyle{ L^p }[/math] не образуют нормированного пространства, так как не выполняется неравенство треугольника, однако образуют метрические пространства. В этих пространствах нет нетривиальных линейных непрерывных операторов.

Полнота

Норма на [math]\displaystyle{ L^p }[/math] вместе с линейной структурой порождает метрику:

[math]\displaystyle{ d(f,\;g) = \|f-g\|_p }[/math],

а следовательно, на пространствах возможно определить сходимость: последовательность функций [math]\displaystyle{ \{f_n\}_{n=1}^{\infty} \subset L^p }[/math] называют сходящейся к функции [math]\displaystyle{ f\in L^p }[/math], если:

[math]\displaystyle{ \|f_n-f\|_p \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].

По определению, пространство [math]\displaystyle{ L^p }[/math] полно, когда любая фундаментальная последовательность в [math]\displaystyle{ L^p }[/math] сходится к элементу этого же пространства. Таким образом [math]\displaystyle{ L^p }[/math] — банахово пространство.

Пространство L²

В случае [math]\displaystyle{ p=2 }[/math] норма порождается скалярным произведением. Таким образом, вместе с понятием «длины» здесь имеет смысл и понятие «угла», а следовательно и смежные понятия, такие как ортогональность, проекция.

Скалярное произведение на пространстве [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] вводится следующим образом:

[math]\displaystyle{ \langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,\overline{g(x)}\, \mu(dx) }[/math],

в случае, если рассматриваемые функции комплекснозначные, или:

[math]\displaystyle{ \langle f,\;g \rangle = \int\limits_X f(x) \,{g(x)}\, \mu(dx) }[/math],

если они вещественные. Тогда, очевидно:

[math]\displaystyle{ \|f\|_2 = \sqrt{\langle f,\; f \rangle} }[/math],

то есть норма порождается скалярным произведением. Ввиду полноты любого [math]\displaystyle{ L^p }[/math] следует, что [math]\displaystyle{ L^2 }[/math] — гильбертово.

Пространство L^∞

Пространство [math]\displaystyle{ L^\infty }[/math] строится из пространства [math]\displaystyle{ \mathcal{L}^{\infty}(X,\;\mathcal{F},\;\mu) }[/math] измеримых функций, ограниченных почти всюду, отождествлением между собой функций, различающиеся лишь на множестве меры нуль, и, положив по определению:

[math]\displaystyle{ \|f\|_{\infty} = \mathrm{ess} \sup\limits_{x\in X} |f(x)| }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathrm{ess} \sup }[/math] — существенный супремум функции.

[math]\displaystyle{ L^\infty }[/math] — банахово пространство.

Метрика, порождаемая нормой [math]\displaystyle{ \| \cdot \|_\infty }[/math], называется равномерной. Также называется и сходимость, порождённая такой метрикой:

[math]\displaystyle{ f_n \to f }[/math] в [math]\displaystyle{ L^{\infty} }[/math], если [math]\displaystyle{ \mathrm{ess} \sup\limits_{x \in X} |f_n(x)-f(x)| \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n \to \infty }[/math].

Свойства

• Сходимость функций почти всюду не влечёт сходимость в пространстве [math]\displaystyle{ L^p }[/math]. Пусть [math]\displaystyle{ f_n(x)=n^{1/p} }[/math] при [math]\displaystyle{ x\in(0,1/n] }[/math] и [math]\displaystyle{ f_n(x)=0 }[/math] при [math]\displaystyle{ x\in(1/n,1] }[/math], [math]\displaystyle{ f_n\in L^p }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ f_n \to 0 }[/math] почти всюду. Но [math]\displaystyle{ \|f_n\|_p^p=\int_0^1 |f_n|^p d\mu=1 }[/math]. Обратное также неверно.
• Если [math]\displaystyle{ \|f_n-f\|_p \to 0 }[/math] при [math]\displaystyle{ n\to \infty }[/math], то существует подпоследовательность [math]\displaystyle{ f_{n_k} }[/math], такая что [math]\displaystyle{ f_{n_k} \to f }[/math] почти всюду.
• [math]\displaystyle{ L^p }[/math] функции на числовой прямой могут быть приближены гладкими функциями. Пусть [math]\displaystyle{ L^p_{C^{\infty}}(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) }[/math] — подмножество [math]\displaystyle{ L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) }[/math], состоящее из бесконечно гладких функций. Тогда [math]\displaystyle{ L^p_{C^{\infty}} }[/math] всюду плотно в [math]\displaystyle{ L^p }[/math].
• [math]\displaystyle{ L^p(\mathbb{R},\;\mathcal{B}(\mathbb{R}),\;m) }[/math] — сепарабельно при [math]\displaystyle{ p\lt \infty }[/math].
• Если [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — конечная мера, например, вероятность, и [math]\displaystyle{ 1 \leqslant p \leqslant q \leqslant \infty }[/math], то [math]\displaystyle{ L^q \subset L^p }[/math]. В частности, [math]\displaystyle{ L^2 \subset L^1 }[/math], то есть случайная величина с конечным вторым моментом имеет конечный первый момент.

Сопряжённые пространства

Для пространств [math]\displaystyle{ \left(L^p\right)^{\star} }[/math], сопряжённое к [math]\displaystyle{ L^p }[/math] (пространств линейных функционалов на [math]\displaystyle{ L^p }[/math]) имеет место следующее свойство: если [math]\displaystyle{ 1 \lt p \lt \infty }[/math], то [math]\displaystyle{ \left(L^p\right)^{\star} }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ L^q }[/math] ([math]\displaystyle{ \left(L^p\right)^{\star} \cong L^q }[/math]), где [math]\displaystyle{ 1/p+1/q=1 }[/math]. Любой линейный функционал на [math]\displaystyle{ L^p }[/math] имеет вид:

[math]\displaystyle{ g(f) = \int\limits_X f(x)\, \tilde{g}(x)\, \mu(dx), }[/math]

где [math]\displaystyle{ \tilde{g}(x)\in L^q }[/math].

В силу симметрии уравнения [math]\displaystyle{ 1/p+1/q=1 }[/math], само пространство [math]\displaystyle{ L^p }[/math] дуально (с точностью до изоморфизма) к [math]\displaystyle{ L^q }[/math], а следовательно:

[math]\displaystyle{ \left(L^p\right)^{\star \star} \cong L^p. }[/math]

Этот результат справедлив и для случая [math]\displaystyle{ p=1 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \left(L^1\right)^{\star} = L^{\infty} }[/math]. Однако [math]\displaystyle{ \left(L^{\infty}\right)^{\star} \not\cong L^1 }[/math] и, в частности, [math]\displaystyle{ \left(L^1\right)^{\star \star} \not\cong L^1 }[/math].

Пространства ℓ^p

Пусть [math]\displaystyle{ (X,\;\mathcal{F},\;\mu) = \left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ m }[/math] — счётная мера на [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ m(\{n\}) = 1,\; \forall n \in \mathbb{N} }[/math]. Тогда если [math]\displaystyle{ p\lt \infty }[/math], то пространство [math]\displaystyle{ \ell^p\left(\mathbb{N},\; 2^{\mathbb{N}},\; m\right) }[/math] представляет собой семейство последовательностей вида [math]\displaystyle{ \{x_n\}_{n=1}^{\infty} }[/math], таких что:

[math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}|x_n|^p \lt \infty }[/math].

Соответственно, норма на этом пространстве задаётся

[math]\displaystyle{ \|x\|_p = \left(\sum\limits_{n=1}^{\infty}|x_n|^p\right)^{\frac{1}{p}} }[/math].

Получившееся нормированное пространство обозначается [math]\displaystyle{ \ell^p }[/math].

Если [math]\displaystyle{ p=\infty }[/math], то рассматривается пространство ограниченных последовательностей с нормой:

[math]\displaystyle{ \|x\|_{\infty} = \sup\limits_{n\in \mathbb{N}}|x_n| }[/math].

Получившееся пространство называется [math]\displaystyle{ \ell^\infty }[/math], оно является примером несепарабельного пространства.

Как и в общем случае, положив [math]\displaystyle{ p=2 }[/math], получается гильбертово пространство [math]\displaystyle{ \ell^2 }[/math], чья норма порождена скалярным произведением:

[math]\displaystyle{ \langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n \overline{y_n} }[/math],

если последовательности комплекснозначные, и:

[math]\displaystyle{ \langle x,\;y \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} x_n {y_n}, }[/math]

если они вещественны.

Пространство, сопряжённое с [math]\displaystyle{ \ell^p }[/math], где [math]\displaystyle{ 1 \lt p \lt \infty }[/math] изоморфно [math]\displaystyle{ \ell^q }[/math], [math]\displaystyle{ 1/p+1/q=1 }[/math]. Для [math]\displaystyle{ p=1: \left(\ell^1\right)^{\star} = \ell^{\infty} }[/math]. Однако [math]\displaystyle{ \left(\ell^{\infty}\right)^{\star} \not\cong \ell^1 }[/math].

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.