Связное двоеточие

Свя́зное двоето́чие (двоеточие Александрова) — конечное топологическое пространство из двух точек определённого типа; наиболее простой содержательный пример нехаусдорфова топологического пространства в общей топологии.

Определяется как топологическое пространство, образованное множеством из двух элементов [math]\displaystyle{ \circ }[/math] («открыто») и [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] («замкнуто»), топология на котором задана следующим перечнем трёх открытых подмножеств:

• [math]\displaystyle{ \varnothing }[/math] — пустое множество;
• [math]\displaystyle{ \{\circ\} }[/math] — множество из одного элемента «открыто»;
• [math]\displaystyle{ \{\circ,\bullet\} }[/math] — всё пространство.

Помимо пустого множества и всего двоеточия, его открытым подмножеством является только [math]\displaystyle{ \{\circ\} }[/math], а замкнутым — только [math]\displaystyle{ \{\bullet\} }[/math]. Мы видим, что точка [math]\displaystyle{ \bullet }[/math] не имеет окрестностей, кроме всего пространства; следовательно, пространство нарушает аксиому T1, в частности, не является хаусдорфовым. Также мы видим, что точка [math]\displaystyle{ \circ }[/math] не является замкнутым подмножеством.

Отображение [math]\displaystyle{ F }[/math] из топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в связное двоеточие является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз [math]\displaystyle{ F^{-1}(\circ) }[/math] точки [math]\displaystyle{ \{\circ\} }[/math] открыт в [math]\displaystyle{ X }[/math] (или, что то же самое, прообраз [math]\displaystyle{ F^{-1}(\bullet) }[/math] точки [math]\displaystyle{ \{\bullet\} }[/math] замкнут в [math]\displaystyle{ X }[/math]). Данное свойство обосновывает названия точек связного двоеточия. Связное двоеточие является связным и также линейно связным пространством.

Александровский куб — степень связного двоеточия [math]\displaystyle{ F^m }[/math] — является универсальным пространством для [math]\displaystyle{ T_0 }[/math]-пространств веса [math]\displaystyle{ m }[/math] при [math]\displaystyle{ m\geqslant\aleph_0 }[/math], то есть любое [math]\displaystyle{ T_0 }[/math]-пространство веса [math]\displaystyle{ m }[/math] гомеоморфно подпространству [math]\displaystyle{ F^m }[/math].

Литература

• Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — ISBN 5-354-00822-0.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.