Локально выпуклое пространство

Локально выпуклое пространство — линейное топологическое пространство с системой полунорм, удовлетворяющей некоторым условиям.

Определение

Линейное топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] называется локально выпуклым пространством, если существует семейство полунорм [math]\displaystyle{ \mu }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math], удовлетворяющее двум условиям:

• Если [math]\displaystyle{ p(x)=0 }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ p \in \mu }[/math], то [math]\displaystyle{ x = 0 }[/math].
• Если для произвольной точки [math]\displaystyle{ x_{0} }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], любой конечной системы полунорм [math]\displaystyle{ p_{1}, ..., p_{n} }[/math] из [math]\displaystyle{ \mu }[/math] и любой конечной системы положительных вещественных чисел [math]\displaystyle{ \epsilon_{1}, ..., \epsilon_{n} }[/math] рассмотреть (выпуклые) множества, состоящие из элементов [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], удовлетворяющих условию [math]\displaystyle{ p_{i}(x - x_{0}) \lt \epsilon_{i} }[/math] с [math]\displaystyle{ i=1, ..., n }[/math], то все такие множества образуют базу топологии в [math]\displaystyle{ X }[/math].

Свойства

• Локально выпуклые пространства хаусдорфовы.
• Последовательность [math]\displaystyle{ \left \{ x_{n} \right \} }[/math] точек локально выпуклого пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] сходится к [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] в том и только том случае, если для каждой полунормы [math]\displaystyle{ p \in \mu }[/math] выполняется соотношение [math]\displaystyle{ \lim_{n \to \infty}p(x_{n} - x) = 0 }[/math].

Литература

• Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. — М.: Мир, 1978. — 336 с.