Ультраметрическое пространство

В ультраметрическом пространстве у треугольника не бывает самой длинной стороны: либо равны все три, либо одна короче, а остальные две — равны

Ультраметрическое пространство — особый случай метрического пространства, в котором метрика удовлетворяет усиленному неравенству треугольника:

[math]\displaystyle{ d(x,z) \leqslant \max\{ d(x,y), d(y,z) \} }[/math]

Такую метрику называют ультраметрикой. Проще говоря, в ультраметрическом пространстве нельзя получить большее расстояние, складывая меньшие, то есть не соблюдается «принцип Архимеда».

Определение

Ультраметрическое пространство — это пара [math]\displaystyle{ (M,d) }[/math], где [math]\displaystyle{ M }[/math] — множество, а [math]\displaystyle{ d\colon M\times M \to \mathbb R }[/math] — вещественнозначная функция на нём, также называемая метрикой, удовлетворяющая следующим условиям:

1. [math]\displaystyle{ d(x,y) \geqslant 0, d(x,y) = 0 \iff x=y }[/math] (положительная определённость)
2. [math]\displaystyle{ d(x,y) = d(y,x) }[/math] (симметричность)
3. [math]\displaystyle{ d(x,z) \leqslant \max\{ d(x,y), d(y,z) \} }[/math] (сильное неравенство треугольника)

Ультраметрическое пространство отличается от метрического тем, что неравенство треугольника заменено на усиленное неравенство треугольника.

Свойства

• Всякий треугольник является равнобедренным, причём если не все его стороны равны, то одна — короче, чем две других.
• Всякая точка шара является его центром.
• Если два шара имеют общую точку, то либо они совпадают, либо один целиком содержит другой.
• Топология ультраметрического пространства является вполне разрывной.

Примеры

• Дискретная метрика (то есть расстояние между двумя точками равно 0, если они совпадают, и 1 если не совпадают) является ультраметрикой.
• Метрика на [math]\displaystyle{ 1,2,\dots,n,\dots }[/math] такая, что [math]\displaystyle{ d(n,m)=d_n }[/math] при [math]\displaystyle{ n\lt m }[/math], и [math]\displaystyle{ d_1\geqslant d_2\geqslant ...d_n\geqslant...\geqslant 0 }[/math].
• Множество слов произвольной длины некоторого алфавита [math]\displaystyle{ \Sigma }[/math] с ультраметрикой, заданной как [math]\displaystyle{ d(a,b) = 2^{-n} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — номер первого символа, различного в словах [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math].
• p-адические числа образуют ультраметрическое пространство с естественной ультраметрикой.
• Модели, наделённые естественной ультраметрикой, возникают в теории информации при исследовании последовательностей символов и в физике твёрдого тела при изучении спиновых стёкол.

Литература

• Б. Беккер, С. Востоков, Ю. Ионин. 2-адические числа // Квант. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.