Дифференциальная форма

Дифференциа́льная фо́рма порядка [math]\displaystyle{ k }[/math], или [math]\displaystyle{ k }[/math]-форма, — кососимметрическое тензорное поле типа [math]\displaystyle{ (0, k) }[/math] на многообразии.

Дифференциальные формы были введены Эли Картаном в начале XX века.

Формализм дифференциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, симплектической геометрии, квантовой теории поля.

Пространство [math]\displaystyle{ k }[/math]-форм на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] обычно обозначают [math]\displaystyle{ \Omega^k(M) }[/math].

Определения

Инвариантное

В дифференциальной геометрии дифференциальная форма степени [math]\displaystyle{ k }[/math], или просто [math]\displaystyle{ k }[/math]-форма, — это гладкое сечение [math]\displaystyle{ \wedge^k T^* M }[/math], то есть [math]\displaystyle{ k }[/math]-ой внешней степени кокасательного расслоения многообразия. В частности,

значение [math]\displaystyle{ k }[/math]-формы на наборе из [math]\displaystyle{ k }[/math] штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
значение [math]\displaystyle{ k }[/math]-формы в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] многообразия есть кососимметрический [math]\displaystyle{ k }[/math]-линейный функционал на [math]\displaystyle{ T_xM }[/math].

Через локальные карты

[math]\displaystyle{ k }[/math]-формой на [math]\displaystyle{ \mathbb{R}^n }[/math] будем называть выражение следующего вида

[math]\displaystyle{ \omega=\sum_{1\leqslant i_1\lt i_2\lt \ldots\lt i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k} }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_{i_1i_2\ldots i_k} }[/math] — гладкие функции, [math]\displaystyle{ dx^i }[/math] — дифференциал [math]\displaystyle{ i }[/math]-ой координаты [math]\displaystyle{ x^i }[/math] (функция от вектора, возвращающая его координату с номером [math]\displaystyle{ i }[/math] ), а [math]\displaystyle{ \wedge }[/math] — внешнее произведение. При смене координат это представление меняет форму.

На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. многообразие).

Связанные определения

Для [math]\displaystyle{ k }[/math]-формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] её внешний дифференциал (также просто дифференциал) — это [math]\displaystyle{ (k+1) }[/math]-форма, в координатах имеющая вид [math]\displaystyle{ d\omega=\sum_{1\leqslant i_1\lt i_2\lt \ldots\lt i_k\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k} }[/math]

для инвариантного определения дифференциала нужно определить дифференциал функций, то есть [math]\displaystyle{ 0 }[/math]-форм, затем дифференциал [math]\displaystyle{ 1 }[/math]-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по [math]\displaystyle{ R }[/math]-линейности и градуированному правилу Лейбница:
- [math]\displaystyle{ dF(v)=v(F) }[/math] — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть производная функции вдоль поля.
- [math]\displaystyle{ d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - \omega ( [u,v] ) }[/math] — значение дифференциала [math]\displaystyle{ 1 }[/math]-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на значение формы на коммутаторе.
- [math]\displaystyle{ \ d (\omega^k \wedge\vartheta^p) = (d\omega^k) \wedge\vartheta^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \vartheta^p) }[/math] — где верхние индексы [math]\displaystyle{ k }[/math] и [math]\displaystyle{ p }[/math] обозначают порядки соответствующих форм.
Дифференциальная форма называется замкнутой, если её внешний дифференциал равен 0.
k-форма называется точной, если её можно представить как дифференциал некоторой [math]\displaystyle{ (k-1) }[/math]-формы.
Факторгруппа [math]\displaystyle{ H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1} }[/math] замкнутых k-форм по точным k-формам называется [math]\displaystyle{ k }[/math]-мерной группой когомологий де Рама. Теорема де Рама утверждает, что она изоморфна k-мерной группе сингулярных когомологий.
Внутренней производной формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] степени [math]\displaystyle{ n }[/math] по векторному полю [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] (также подстановкой векторного поля в форму) называется форма
[math]\displaystyle{ i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_{n-1}) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_{n-1}) }[/math]

Свойства

Для любой формы справедливо [math]\displaystyle{ d(d\omega)=0 }[/math].

Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
[math]\displaystyle{ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p) }[/math]

Внутренняя производная линейна и удовлетворяет градуированному правилу Лейбница:
[math]\displaystyle{ i_X (\omega^k \wedge\omega^p) = (i_X\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(i_X \omega^p) }[/math]

Формулы Картана. Для произвольной формы [math]\displaystyle{ \omega }[/math] и векторных полей [math]\displaystyle{ X,Y,Z }[/math] выполняются следующие соотношения
[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_Xd\omega = d\mathcal{L}_X \omega, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X\omega = i_Xd\omega + d i_X \omega, }[/math] (волшебная формула Картана)

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X\mathcal{L}_Y\omega -\mathcal{L}_Y\mathcal{L}_X\omega= \mathcal{L}_{[X,Y]} \omega, }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_X i_Y\omega- i_Y\mathcal{L}_X\omega = i_{[X,Y]}\omega, }[/math]

[math]\displaystyle{ i_X i_Y\omega+ i_Yi_X\omega = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] обозначает производную Ли.

Примеры

С точки зрения тензорного анализа 1-форма есть не что иное, как ковекторное поле, то есть 1 раз ковариантный тензор, заданный в каждой точке [math]\displaystyle{ p }[/math] многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] и отображающий элементы касательного пространства [math]\displaystyle{ T_p (M) }[/math] в множество вещественных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math]:
[math]\displaystyle{ \omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R }[/math]
Форма объёма — пример [math]\displaystyle{ n }[/math]-формы на [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерном многообразии.
Симплектическая форма — замкнутая 2-форма [math]\displaystyle{ \omega }[/math] на [math]\displaystyle{ 2n }[/math]-многообразии, такая что [math]\displaystyle{ \omega^n\not=0 }[/math].

Применения

Векторный анализ

Дифференциальные формы позволяют записать основные операции векторного анализа в координатно-инвариантном виде и обобщить их на пространства любой размерности. Пусть [math]\displaystyle{ I }[/math] — канонический изоморфизм между касательным и кокасательным пространствами, а [math]\displaystyle{ * }[/math] — оператор дуальности Ходжа (который, в частности, в трёхмерном пространстве реализует изоморфизм между 2-формами и векторными полями, а также между скалярами и псевдоскалярами). Тогда ротор и дивергенцию можно определить следующим способом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\,v = *\,d\,I (v) }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\,v = *^{-1} d\,* (v) }[/math]

Дифференциальные формы в электродинамике

Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм в 4-мерном пространстве-времени. Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

[math]\displaystyle{ \textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b. }[/math]

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная обычному 4-вектору тока, имеет вид

[math]\displaystyle{ \textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d. }[/math]

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0} }[/math]

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J} }[/math]

где [math]\displaystyle{ * }[/math] — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма [math]\displaystyle{ * \mathbf{F} }[/math] также называется 2-формой Максвелла.

Гамильтонова механика

С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим симплектическое многообразие [math]\displaystyle{ M }[/math] с заданными на нём симплектической формой [math]\displaystyle{ \omega }[/math] и функцией [math]\displaystyle{ H }[/math], называемой функцией Гамильтона. [math]\displaystyle{ \omega }[/math] задаёт в каждой точке [math]\displaystyle{ X \in M }[/math] изоморфизм [math]\displaystyle{ I }[/math] кокасательного [math]\displaystyle{ T^{*}_{X}M }[/math] и касательного [math]\displaystyle{ T_{X}M }[/math] пространств по правилу

[math]\displaystyle{ dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M }[/math],

где [math]\displaystyle{ dH }[/math] — дифференциал функции [math]\displaystyle{ H }[/math]. Векторное поле [math]\displaystyle{ I dH }[/math] на многообразии называется гамильтоновым полем, а соответствующий ему фазовый поток — гамильтоновым потоком. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её внешнюю степень. Отсюда следует теорема Лиувилля. Скобка Пуассона функций [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] на [math]\displaystyle{ M }[/math] определяется по правилу

[math]\displaystyle{ [F, G] = \omega( I dF, I dG) }[/math]

Вариации и обобщения

Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в векторных расслоениях. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от [math]\displaystyle{ k }[/math] векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние k-формы на [math]\displaystyle{ M }[/math] со значениями в векторном расслоении [math]\displaystyle{ \pi\colon E \to M }[/math] определяются как сечения тензорного произведения расслоений

[math]\displaystyle{ \left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E }[/math]

Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — тангенциальнозначные формы, в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение [math]\displaystyle{ T M }[/math].

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5.
Годбийон К. Дифференциальная геометрия и аналитическая механика. — М.: Мир, 1973.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1971.
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия. — М.: Наука, 1987.
Булдырев В. С., Павлов Б. С. Линейная алгебра и функции многих переменных. — Л.: Издательство Ленинградского университете, 1985.

См. также