Касательное пространство
Касательное пространство к гладкому многообразию [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] — совокупность касательных векторов с введённой на ней естественной структурой векторного пространства. Касательное пространство к [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ T_xM }[/math] или — когда очевидно, о каком многообразии идёт речь — просто [math]\displaystyle{ T_x }[/math].
Совокупность касательных пространств во всех точках многообразия (вместе с самим многообразием) образует векторное расслоение, которое называется касательным расслоением. Соответственно, каждое касательное пространство есть слой касательного расслоения.
Касательное пространство в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] к подмногообразию определяется аналогично.
В простейшем случае, когда гладкое многообразие гладко вложено в векторное пространство (что возможно всегда, согласно Теореме Уитни о вложении), каждое касательное пространство можно естественно отождествить с некоторым афинным подпространством объемлющего векторного пространства.
Определения
Есть два стандартных определения касательного пространства: через класс эквивалентности гладких кривых и через дифференцирование в точке. Первое интуитивно проще, но на этом пути возникает ряд технических сложностей. Второе является наиболее простым, хотя уровень абстракции в нём выше. Второе определение также легче применять на практике.
Как класс эквивалентности гладких кривых
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — гладкое многообразие и [math]\displaystyle{ p \in M }[/math]. Рассмотрим класс [math]\displaystyle{ \Gamma_p }[/math] гладких кривых [math]\displaystyle{ \gamma\colon\mathbb I\to M }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ \gamma(0)=p }[/math]. Введём на [math]\displaystyle{ \Gamma_p }[/math] отношение эквивалентности: [math]\displaystyle{ \gamma_1\sim\gamma_2 }[/math] если
- [math]\displaystyle{ |\gamma_1(t)-\gamma_2(t)|=o(t), t\to 0 }[/math]
в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей [math]\displaystyle{ p }[/math].
Элементы касательного пространства [math]\displaystyle{ T_p }[/math] определяются как [math]\displaystyle{ \sim }[/math]-классы эквивалентности [math]\displaystyle{ \Gamma_p }[/math]; то есть
- [math]\displaystyle{ T_p=\Gamma_p/\sim }[/math].
В карте такой, что [math]\displaystyle{ p }[/math] соответствует началу координат, кривые из [math]\displaystyle{ \Gamma_p }[/math] можно складывать и умножать на число следующим образом
- [math]\displaystyle{ (\gamma_1+\gamma_2)(t)=\gamma_1(t)+\gamma_2(t) }[/math]
- [math]\displaystyle{ (k\cdot\gamma)(t)=\gamma(k\cdot t) }[/math]
При этом результат остаётся в [math]\displaystyle{ \Gamma_p }[/math].
Эти операции продолжаются до классов эквивалентности [math]\displaystyle{ T_p=\Gamma_p/\sim }[/math]. Более того, индуцированные на [math]\displaystyle{ T_p }[/math] операции уже не зависят от выбора карты. Так на [math]\displaystyle{ T_p }[/math] определяется структура векторного пространства.
Через дифференцирование в точке
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — [math]\displaystyle{ C^\infty }[/math]-гладкое многообразие. Тогда касательным пространством к многообразию [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ p \in M }[/math] называется пространство дифференцирований в этой точке, то есть пространство операторов [math]\displaystyle{ X, }[/math] сопоставляющих каждой гладкой функции [math]\displaystyle{ f:M\to \R }[/math] число [math]\displaystyle{ Xf, }[/math] и удовлетворяющих следующим двум условиям:
- [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math]-линейность: [math]\displaystyle{ X(\lambda f+\mu h)=\lambda Xf+\mu Xh,\; \lambda,\mu\in \mathbb R, f,h\in C^\infty(M) }[/math]
- правило Лейбница: [math]\displaystyle{ X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot(Xh),\; f,h\in C^\infty(M). }[/math]
На множестве всех дифференцирований в точке [math]\displaystyle{ p }[/math] возникает естественная структура линейного пространства:
- [math]\displaystyle{ (X+Y)f=Xf+Yf; }[/math]
- [math]\displaystyle{ (k\cdot X)f=k\cdot(Xf). }[/math]
Замечания
- В случае [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-гладких многообразий, в определении через дифференцирование следует добавить ещё одно свойство
- [math]\displaystyle{ Xf=0 }[/math] если [math]\displaystyle{ f(q)=o(|p-q|) }[/math]
- в некоторой (а значит и в любой) карте содержащей [math]\displaystyle{ p }[/math].
- В противном случае это определение даст бесконечномерное пространство, включающее касательное пространство. Это пространство иногда называется алгебраическим касательным пространством. См. ниже.
- Пусть [math]\displaystyle{ \gamma\in\Gamma_p }[/math]. Тогда правило Лейбница и условие линейности оператора выполняются для [math]\displaystyle{ Xf=(f\circ \gamma)'(0) }[/math]. Это позволяет идентифицировать касательные пространства, получаемые в первом и во втором определениях.
Свойства
- Касательное пространство [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного гладкого многообразия является [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерным векторным пространством
- Для выбранной локальной карты [math]\displaystyle{ x_1,\dots, x_n }[/math], операторы [math]\displaystyle{ X_i }[/math] дифференцирования по [math]\displaystyle{ x_i }[/math]:
- [math]\displaystyle{ X_if=\frac {\partial f}{\partial x_i}(p) }[/math]
- представляют собой базис [math]\displaystyle{ T_p }[/math], называемый голономным базисом.
Связанные определения
- Контактным элементом к многообразию в некоторой точке называется любая гиперплоскость касательного пространства в этой точке.
Вариации и обобщения
Алгебраическое касательное пространство
Алгебраическое касательное пространство возникает, когда мы в определении касательного вектора отказываемся от дополнительного требования, озвученного в замечании выше (что, впрочем, имеет значение только для [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-дифференцируемых многообразий, [math]\displaystyle{ k \lt \infty }[/math]). Его определение обобщается на любое локально окольцованное пространство (в частности, на любое алгебраическое многообразие).
Пусть [math]\displaystyle{ M }[/math] — [math]\displaystyle{ C^k }[/math]-дифференцируемое многообразие, [math]\displaystyle{ C^k(M) }[/math] — кольцо дифференцируемых функций из [math]\displaystyle{ M }[/math] в [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math]. Рассмотрим кольцо [math]\displaystyle{ C^k_x }[/math] ростков функций в точке [math]\displaystyle{ x \in M }[/math] и каноническую проекцию [math]\displaystyle{ [-]_x: C^k(M) \to C^k_x }[/math]. Обозначим через [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}_x }[/math] ядро гомоморфизма колец [math]\displaystyle{ [f]_x \mapsto f(x) }[/math]. Введем на [math]\displaystyle{ C^k_x }[/math] структуру вещественной алгебры с помощью инъективного гомоморфизма [math]\displaystyle{ i: \mathbb{R} \to C^k_x }[/math], [math]\displaystyle{ i(a) = [\mathrm{const}_a]_x }[/math] и будем далее отождествлять [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ i(\mathbb{R}) }[/math]. Имеет место равенство [math]\displaystyle{ C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x }[/math][1]. Обозначим через [math]\displaystyle{ C^k_{x,0} }[/math] подалгебру [math]\displaystyle{ C^k_x }[/math], состояющую из всех ростков, представители которых имеют нулевые дифференциалы в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] в каждой карте; обозначим [math]\displaystyle{ C^k_{x,d} = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x^2 }[/math]. Заметим, что [math]\displaystyle{ C^k_{x,d} \subset C^k_{x,0} }[/math].
Рассмотрим два векторных пространства:
- [math]\displaystyle{ T_x M := (C^k_x / C^k_{x,0})^* }[/math] — это пространство имеет размерность [math]\displaystyle{ \operatorname{dim}M }[/math] и совпадает с определённым ранее касательным пространством к [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math],
- [math]\displaystyle{ (C^k_x / C^k_{x,d})^* \cong (\mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2)^* }[/math] — это пространство изоморфно пространству дифференцирований [math]\displaystyle{ C^k_x = \mathbb{R} \oplus \mathfrak{m}_x }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ \mathbb{R} \subset C^k_x }[/math], его называют алгебраическим касательным пространством[2] [math]\displaystyle{ M }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math].
Если [math]\displaystyle{ k \lt \infty }[/math], то [math]\displaystyle{ \mathfrak{m}_x/\mathfrak{m}_x^2 }[/math] имеет размерность континуум, а [math]\displaystyle{ (\mathfrak{m}_x / \mathfrak{m}_x^2)^* }[/math] содержит [math]\displaystyle{ T_x M }[/math] как нетривиальное подпространство; в случае [math]\displaystyle{ k = \infty }[/math] или [math]\displaystyle{ k = \omega }[/math] эти пространства совпадают (и [math]\displaystyle{ C^k_{x,0} = C^k_{x,d} }[/math])[3]. В обоих случаях [math]\displaystyle{ T_x M }[/math] можно отождествлять с (под)пространством дифференцирований [math]\displaystyle{ C^k_x }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], для вектора [math]\displaystyle{ X \in T_x M }[/math] формула [math]\displaystyle{ X(f) = X([f]_x) }[/math] задаёт инъективный гомоморфизм [math]\displaystyle{ T_x M }[/math] в пространство дифференцирований [math]\displaystyle{ C^k(M) }[/math] со значениями в [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math] (структура вещественной алгебры на [math]\displaystyle{ C^k(M) }[/math] задается аналогично [math]\displaystyle{ C^k_x }[/math]). При этом в случае [math]\displaystyle{ k = \infty }[/math] получается в точности определение, данное выше.