Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Формулировка

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в [math]\displaystyle{ 6N }[/math]-мерном фазовом пространстве ([math]\displaystyle{ N }[/math] — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами [math]\displaystyle{ q_i }[/math] и сопряжёнными импульсами [math]\displaystyle{ p_i }[/math], где [math]\displaystyle{ i = 1, \dots, d, }[/math] [math]\displaystyle{ d = 3N }[/math]. Тогда распределение в фазовом пространстве [math]\displaystyle{ \rho(p_i, q_i) }[/math] определяет вероятность [math]\displaystyle{ \rho(p, q)\,\mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp }[/math] того, что система будет находиться в элементе объёма [math]\displaystyle{ \mathrm{d}^dq\,\mathrm{d}^dp }[/math] своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию [math]\displaystyle{ \rho(p_i, q_i; t) }[/math] во времени [math]\displaystyle{ t }[/math] согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

[math]\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}\rho}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^d\left(\frac{\partial\rho}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial\rho}{\partial p_i} \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right) = 0. }[/math]

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

[math]\displaystyle{ \dot{q}_i \equiv \frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial H}{\partial p_i}, }[/math]

[math]\displaystyle{ \dot{p}_i \equiv \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t} = -\frac{\partial H}{\partial q_i}. }[/math]

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция [math]\displaystyle{ \rho }[/math] определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla(\rho\,\mathbf{v}) = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \rho \operatorname{div}\mathbf{v} + \mathbf{v} \operatorname{grad}\rho = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math] — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

[math]\displaystyle{ \nabla(\rho\,\mathbf{v}) = \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial(\rho\dot{q}_i)}{\partial q_i} + \frac{\partial(\rho\dot{p}_i)}{\partial p_i}\right) }[/math]

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

[math]\displaystyle{ \rho \operatorname{div}\mathbf{v} = \rho \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial\dot{q}_i}{\partial q_i} + \frac{\partial\dot{p}_i}{\partial p_i}\right) = \rho \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial^2 H}{\partial q_i\,\partial p_i} - \frac{\partial^2 H}{\partial p_i\,\partial q_i}\right) = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ H }[/math] — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности [math]\displaystyle{ d\rho/dt }[/math] равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей [math]\displaystyle{ (\dot p, \dot q) }[/math] в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — [math]\displaystyle{ p_i }[/math] — но сжимается по другой координате [math]\displaystyle{ q_i }[/math] так, что произведение [math]\displaystyle{ \Delta p_i \, \Delta q_i }[/math] остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] сохраняется при сдвигах времени. Если

[math]\displaystyle{ \int\limits_\Gamma d^dq\,d^dp = C, }[/math]

и [math]\displaystyle{ \Gamma(t) }[/math] — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] в момент времени [math]\displaystyle{ t }[/math], тогда

[math]\displaystyle{ \int\limits_{\Gamma(t)} d^dq\,d^dp = C }[/math]

для всех времён [math]\displaystyle{ t }[/math]. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Через симплектическую форму

Пусть [math]\displaystyle{ (M,\omega) }[/math] — симплектическое многообразие и [math]\displaystyle{ H\colon M\to \R }[/math] — гладкая функция. Пусть [math]\displaystyle{ V }[/math] есть симплектический градиент [math]\displaystyle{ H }[/math], то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

[math]\displaystyle{ dH(X)=\omega(V,X) }[/math]

для любого векторного поля [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_V\omega=0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathcal{L} }[/math] обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_V\omega^{\wedge n}=0, }[/math]

а если [math]\displaystyle{ M }[/math] — [math]\displaystyle{ 2n }[/math]-мерно, то [math]\displaystyle{ \omega^{\wedge n} }[/math] является формой объёма на [math]\displaystyle{ M }[/math].

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

[math]\displaystyle{ N = \int d^dq\,d^dp\,\rho(p, q) }[/math]

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math] с координатами [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] и импульсами [math]\displaystyle{ \mathbf{p} }[/math], теорему Лиувилля можно записать в виде

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \nabla_\mathbf{x}\rho + \frac{\mathbf{F}}{m} \cdot \nabla_\mathbf{p}\rho = 0, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{v} = \dot{\mathbf{x}} }[/math] — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил [math]\displaystyle{ \mathbf{F} }[/math].

В классической статистической механике число частиц [math]\displaystyle{ N }[/math] велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае [math]\displaystyle{ \partial\rho/\partial t = 0 }[/math] можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения [math]\displaystyle{ \rho }[/math] равна любой функции гамильтониана [math]\displaystyle{ H }[/math], например, в распределении Максвелла-Больцмана [math]\displaystyle{ \rho \sim e^{-H/kT} }[/math], где [math]\displaystyle{ T }[/math] — температура, [math]\displaystyle{ k }[/math] — постоянная Больцмана.

См. также: канонический ансамбль и микроканонический ансамбль

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах [math]\displaystyle{ (q^i, p_j) }[/math] вид

[math]\displaystyle{ \{A, B\} = \sum_{i=1}^N \left( -\frac{\partial A}{\partial q^{i}} \frac{\partial B}{\partial p_{i}} +\frac{\partial A}{\partial p_{i}} \frac{\partial B}{\partial q^{i}} \right), }[/math]

уравнение Лиувилля (другое название: уравнение Лиувилля — фон Неймана) для гамильтоновых систем приобретает вид

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\rho}{\partial t} = -\{\rho, H\}. }[/math]

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

[math]\displaystyle{ i \hat{L} = \sum_{i=1}^d \left[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial}{\partial q_i} - \frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial}{\partial p_i}\right] }[/math]

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

[math]\displaystyle{ \frac{\partial \rho }{\partial t} + i \hat{L} \rho = 0. }[/math]

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

[math]\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial t}\rho= \frac{1}{i \hbar}[H,\rho], }[/math]

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial}{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}q_i}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial}{\partial p_i} \frac{\mathrm{d}p_i}{\mathrm{d}t}\right) = 0, }[/math] 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

[math]\displaystyle{ \dot{q}_i = Q_i(\mathbf p, \mathbf q, t), \quad \dot{p}_i = P_i(\mathbf p, \mathbf q, t) }[/math] 

уравнение для эволюции во времени плотности [math]\displaystyle{ \rho(\mathbf p, \mathbf q, t) }[/math] распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

[math]\displaystyle{ \rho(\mathbf p', \mathbf q', t') \,d\Lambda' = \rho(\mathbf p, \mathbf q, t) \,d\Lambda, }[/math] 

[math]\displaystyle{ t' = t + dt, \quad p_i' = p_i + P_i \,dt, \quad q_i' = q_i + Q_i \,dt, \quad d\Lambda' = d\Lambda\left[1 + dt \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial Q_i}{\partial q_i} + \frac{\partial P_i}{\partial p_i}\right) \right] }[/math] 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{\partial\rho}{\partial t} + \sum_{i=1}^d \left(\frac{\partial(\rho Q_i)}{\partial q_i} + \frac{\partial(\rho P_i)}{\partial p_i}\right) = 0 }[/math]

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  [math]\displaystyle{ Q_i = \partial H/\partial p_i,\ P_i = -\partial H/\partial q_i }[/math] совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана