Тангенциальнозначная форма

Тангенциальнозначные формы — это обобщение дифференциальных форм, при котором множеством значений формы является касательное расслоение к многообразию.

Определение

Тангенциальнозначной формой на многообразии [math]\displaystyle{ M }[/math] называется сечение тензорного произведения касательного и внешней степени кокасательного расслоений к многообразию:

[math]\displaystyle{ \omega\colon M \to \left(\wedge^k T^*M\right) \otimes_{M} TM }[/math]

[math]\displaystyle{ \pi \circ \omega = \imath d }[/math]

Операции

• Внутреннее дифференицрование
• Внешнее дифференцирование

Производная Ли

Частным случаем тангенциальнозначных форм являются векторные поля. Производная Ли от тензорного поля [math]\displaystyle{ T }[/math] по векторному полю [math]\displaystyle{ X }[/math] определяется стандартным образом:

[math]\displaystyle{ L_X T = \frac{d}{dt} g^t T }[/math]

где [math]\displaystyle{ g^t }[/math] — фазовый поток, соответствующий векторному полю [math]\displaystyle{ X }[/math]. Эта операция связана с внутренним умножением [math]\displaystyle{ \imath_X }[/math] дифференциальной формы на векторное поле и внешним дифференцированием формулой гомотопии:

[math]\displaystyle{ L_X = \imath_X d + d \imath_X }[/math]

то есть

[math]\displaystyle{ L_X = [\imath_X, d] }[/math]

где [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot] }[/math] — коммутатор в градуированной алгебре дифференцирований тангенциальнозначных форм. Для произвольной тангенциальнозначной формы [math]\displaystyle{ K }[/math] производная Ли определяется по аналогии:

[math]\displaystyle{ L_K = [\imath_K, d] }[/math]

Свойства

• [math]\displaystyle{ [L_K, d] = 0 }[/math]

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса

Скобка Фрёлихера-Нейенхёйса [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot] }[/math] двух тангенциальнозначных форм [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ F }[/math] определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [math]\displaystyle{ [K,F] }[/math], для которой

[math]\displaystyle{ [L_K, L_F] = L([K,F]) }[/math]

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Если воспринимать почти комплексную структуру [math]\displaystyle{ I }[/math] как касательнозначную 1-форму, её тензор Нейенхёйса (тензор, препятствующий отысканию комплексных локальных карт) выражается через скобку Фрёлихера-Нейенхёйса как [math]\displaystyle{ [I,I] }[/math]. Условие «интегрируемости» некой структуры как зануление некоторой её скобки с самой собой общо: например, условие ассоциативности алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math] можно определять как зануление скобки Герстенхабера на пространстве кодифференцирований свободной коалгебры, порождённой подлежащим векторным пространством алгебры [math]\displaystyle{ A }[/math], посажённым в градуировку 1 (билинейные умножения [math]\displaystyle{ \mu\colon A\otimes A\to A }[/math] суть то же самое, что кодифференцирования градуировки 1).

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона

Скобка Нейенхёйса-Ричардсона (алгебраические скобки) [math]\displaystyle{ [\cdot,\cdot]^\wedge }[/math] двух тангенциальнозначных форм [math]\displaystyle{ K }[/math] и [math]\displaystyle{ F }[/math] определяются как такая единственная тангенциальнозначная форма [math]\displaystyle{ [K,F]^\wedge }[/math], для которой

[math]\displaystyle{ [\imath_K, \imath_F] = \imath([K,F]^\wedge) }[/math]

Эта операция градуированно антикоммутативна и удовлетворяет градуированному тождеству Якоби. Явный вид для скобки двух форм [math]\displaystyle{ K \in \Omega^{k+1}(M,TM) }[/math], [math]\displaystyle{ F \in \Omega^{f+1}(M,TM) }[/math]:

[math]\displaystyle{ [K, F]^\wedge = \imath_k F - (-1)^{k f} \imath_F K }[/math]

Связанные определения

Форма называется припаивающей, если она лежит в [math]\displaystyle{ T^*M \otimes TM }[/math].

Литература

• Г. А. Сарданашвили Современные методы теории поля. Т.1: Геометрия и классические поля, — М.: УРСС, 1996. — 224 с.
• Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.