Дифференциальные формы в электромагнетизме

Дифференциальные формы в электромагнетизме — одна из возможных математических формулировок классической электродинамики при помощи дифференциальных форм в четырёхмерном пространстве-времени.

Рассмотрим 2-форму Фарадея, соответствующую тензору электромагнитного поля:

[math]\displaystyle{ \textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b. }[/math]

Эта форма является формой кривизны тривиального главного расслоения со структурной группой U(1), с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и калибровочная теория. 3-форма тока, дуальная к 4-вектору тока, имеет вид

[math]\displaystyle{ \textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d. }[/math]

В этих обозначениях уравнения Максвелла могут быть очень компактно записаны как

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0} }[/math],

[math]\displaystyle{ \mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = {*\textbf{J}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ * }[/math] — оператор звезды Ходжа. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.

2-форма [math]\displaystyle{ * \mathbf{F} }[/math] также называется 2-формой Максвелла.

Литература

Арнольд В. И. Математические методы классической механики, М.: Едиториал УРСС, 2003. — ISBN 5-354-00341-5
Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971
Болибрух А. А. Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.

См. также