Форма объёма

Эта статья находится на начальном уровне проработки, в одной из её версий выборочно используется текст из источника, распространяемого под свободной лицензией
Материал из энциклопедии Руниверсалис

Форма объёмадифференциальная форма высшей размерности на гладком многообразии (то есть n-форма на n-мерном многообразии), которая не обнуляется ни в одной точке.

Форма объёма позволяет определить интеграл функции по многообразию. Другими словами, форма объёма задаёт меру, по которой можно интегрировать функции.

Свойства

  • Гладкое многообразие допускает форму объёма тогда и только тогда, когда оно ориентируемо.
  • На многообразии с формой объёма ω, дивергенцию векторного поля X можно определить с помощью следующих тождеств:
    (divX)ω=LXω=d(Xω)
где LX обозначает производную Ли по X, dвнешний дифференциал, а Xω — операцию подстановки X в ω.

Примеры

  • На любой группе Ли естественный выбор формы объёма получается из формы в единице правыми (или левыми) сдвигами. Такие формы называются право- и левоинвариантными. Как следствие, всякая группа Ли ориентируема. Соответствующая мера называется мерой Хаара.
где |g| — абсолютное значение определителя матрицы представления метрического тензора.

Литература