Серединный треугольник
Серединный треугольник (также срединный треугольник или дополнительный треугольник) — треугольник, построенный на серединах сторон данного треугольника, частный случай серединного многоугольника.
Свойства
Серединный треугольник можно рассматривать как образ исходного треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] при гомотетии с центром в центроиде с множителем −½. Таким образом, серединный треугольник подобен исходному и имеет тот же самый центроид и медианы, что и исходный треугольник [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Отсюда также следует, что периметр серединного треугольника равен полупериметру треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] и что его площадь равна четверти площади треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Более того, четыре треугольника, на которые разбивается исходный треугольник серединным треугольником, равны по трём сторонам, так что их площади равны и составляют четверть площади исходного треугольника[1]. В этой связи иногда «серединными» называют сразу все четыре равных между собой внутренних треугольника, получаемых из заданного треугольника проведением в нём трёх средних линий (в наиболее традиционной терминологии серединным называют только один из них — центральный).
Ортоцентр серединного треугольника совпадает с центром описанной окружности данного треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], этот факт даёт средства для доказательства того, что центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой — прямой Эйлера.
Серединный треугольник является подерным треугольником центра описанной окружности. Окружность девяти точек является описанной для серединного треугольника, а потому центр девяти точек является центром описанной вокруг серединного треугольника окружности Точка Нагеля серединного треугольника является центром вписанной окружности исходного треугольника[2].
Серединный треугольник равен треугольнику, вершинами которого служат середины отрезков, соединяющих ортоцентр и его вершины (треугольник Эйлера)[3].
Центр вписанной окружности треугольника лежит в серединном треугольнике[4]. Точка внутри треугольника является центром вписанного в треугольник эллипса[англ.] тогда и только тогда, когда эта точка лежит внутри серединного треугольника[5]. Серединный треугольник является единственным вписанным треугольником, для которого никакой из трёх остальных треугольников не имеет площадь, меньшую площади этого треугольника[6]. Центр окружности, вписанной в серединный треугольник данного треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], является центром масс периметра треугольника (центром Шпикера), этот центр является центром тяжести однородной проволочной фигуры, соответствующей треугольнику.
Ортополюс P прямой линии ℓ треугольника является радикальным центром трех окружностей, которые касаются прямой линии ℓ и имеют центры в вершинах антидополнительного треугольника по отношению к данному треугольнику.[7]
Инцентр данного треугольника является точкой Нагеля треугольника, образованного его 3 средними линиями (серединного треугольника).[8]
Координаты
Пусть [math]\displaystyle{ a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| }[/math] — длины сторон треугольника [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math]. Трилинейные координаты вершин серединного треугольника задаются формулами:
- [math]\displaystyle{ X = 0 : 1/b : 1/c }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y = 1/a : 0 : 1/c }[/math]
- [math]\displaystyle{ Z = 1/a : 1/b : 0 }[/math]
Антисерединный треугольник
Если [math]\displaystyle{ \triangle XYZ }[/math] — серединный треугольник для [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math], то [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] является антисерединным треугольником (антидополнительным) для [math]\displaystyle{ \triangle XYZ }[/math]. Антикомплементарный треугольник для [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] образуется тремя прямыми, параллельными сторонам [math]\displaystyle{ \triangle ABC }[/math] — параллельно [math]\displaystyle{ AB }[/math] через точку [math]\displaystyle{ C }[/math], параллельно [math]\displaystyle{ AC }[/math] через точку [math]\displaystyle{ B }[/math] и параллельно [math]\displaystyle{ BC }[/math] через точку [math]\displaystyle{ A }[/math].
Трилинейные координаты вершин антисерединного треугольника [math]\displaystyle{ \triangle X'Y'Z' }[/math] задаются формулами:
- [math]\displaystyle{ X' = -1/a : 1/b : 1/c }[/math]
- [math]\displaystyle{ Y' = 1/a : -1/b : 1/c }[/math]
- [math]\displaystyle{ Z' = 1/a : 1/b : -1/c }[/math]
Примечания
- ↑ Posamentier, Lehmann, 2012, с. 177.
- ↑ Altshiller-Court, 2007, с. 161, Теорема 337.
- ↑ Altshiller-Court, 2007, с. 103,#206;108,#1.
- ↑ Franzsen, 2011, с. 233, Лемма 1.
- ↑ Chakerian, 1979, с. 139, Глава 7.
- ↑ Torrejon, 2005, с. 137.
- ↑ College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle. Nathan Altshiller-Court. (Параграф: G. The Orthopole. Упражнения. Пункт 6. С. 291). Mineola, New York: Dover Publication, Inc., 2012. 292 p.
- ↑ Honsberger, R.. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. 1995. P. 51, Пункт (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
Литература
- Alfred S. Posamentier, Ingmar Lehmann. The Secrets of Triangles. — Prometheus Books, 2012.
- William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вып. 11.
- Nathan Altshiller-Court. College Geometry. — Dover Publications, 2007.
- G. D. Chakerian. Mathematical Plums / R. Honsberger. — Washington, DC: Mathematical Association of America,, 1979.
- Ricardo M. Torrejon. On an Erdos inscribed triangle inequality // Forum Geometricorum. — 2005. — Вып. 5.
- Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание.. — М.: Учпедгиз, 1962. — 153 с.
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Medial triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Anticomplementary Triangle (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.