Лемма о трезубце

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

Формулировка

Лемма о трезубце.

Лемма о трилистнике.

Лемма Мансиона.

Пусть у треугольника $ABC$ точка $I$ — центр вписанной окружности, точка $I_a$ — центр вневписанной окружности, противоположной вершине $A$, а точка $L$ — точка пересечения отрезка $I{I}_a$ с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка $L$ равноудалена от $I$, $I_a$, $B$ и $C$.

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

• Теорема Мансиона: $L$ равноудалена от $I$ и $I_a$.
• Лемма о трилистнике, или лемма о трезубце, или лемма Мансиона: $L$ равноудалена от $I$, $B$ и $C$.
• Лемма о трезубце: $L$ равноудалена от $I$, $I_a$, $B$ и $C$.

Другой вариант задания точки $L$ — как центра дуги $BC$ описанной окружности, не содержащей точки $A$.

Доказательство

Под $\mathrm{\angle }A,\mathrm{\angle }B$ будем понимать углы $\mathrm{\angle }BAC,\mathrm{\angle }ABC$ соответственно. Если луч $AI$ пересекает описанную окружность в точке $L$, то $L$ является средней точкой дуги $BC$, отрезок $AL$ является биссектрисой угла $\mathrm{\angle }A$. Проведя отрезок $BI$, заметим, что

$\mathrm{\angle }BIL=\mathrm{\angle }A/2+\mathrm{\angle }B/2,$

потому что $\mathrm{\angle }BIL$ внешний к треугольнику $\mathrm{△}AIB$, а также

$\mathrm{\angle }LBI=\mathrm{\angle }LBC+\mathrm{\angle }CBI=\mathrm{\angle }A/2+\mathrm{\angle }B/2,$ потому что $\mathrm{\angle }LBC$ и $\mathrm{\angle }LAC=\mathrm{\angle }A/2$ равны, так как опираются на одну дугу $LC$.

Значит, треугольник $\mathrm{△}BLI$ равнобедренный, т.е, $BL=LI.$ Равенство $CL=BL$ следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол $\mathrm{\angle }A/2.$ Таким образом, $BL=LI=LC.$

Мы показали, что $BL=LI=LC$. Теперь докажем что «ручка» трезубца $L{I}_a$ равна этой же величине.

Продлим сторону $AB$ за точку $B$ и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку $E$. Под $\mathrm{\angle }A$ будем понимать $\mathrm{\angle }BAC,$ под $\mathrm{\angle }B$ будем иметь в виду угол $\mathrm{\angle }EBC={180}^{\circ }-\mathrm{\angle }ABC.$

Тогда нам нужно понять, что треугольник $\mathrm{△}BL{I}_a$ равнобедренный, то есть, что $\mathrm{\angle }LB{I}_a=\mathrm{\angle }L{I}_{a}B$.

С одной стороны,

$\mathrm{\angle }LB{I}_a=\mathrm{\angle }B/2-\mathrm{\angle }A/2$

и

$\mathrm{\angle }EB{I}_a=\mathrm{\angle }A/2+\mathrm{\angle }B{I}_{a}A$ так как $\mathrm{\angle }EB{I}_a$ внешний в треугольнике :$\mathrm{△}B{I}_{a}A,$ т.е, $\mathrm{\angle }B/2-\mathrm{\angle }A/2=\mathrm{\angle }B{I}_{a}A$

Вариации и обобщения

Внешняя лемма о трезубце

• Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью Эйлера

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники $A{H}_{c}H{H}_b$, $B{H}_{c}H{H}_a$, $H_{b}H{H}_{a}C$ вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы $\measuredangle H{H}_b{H}_c=\measuredangle HA{H}_c=\measuredangle HC{H}_a=\measuredangle H{H}_b{H}_a$ (рис 2).

рисунок 1

рисунок 2

Из этого следует, что $H_{b}H$ — биссектриса в треугольнике $\mathrm{△}{H}_c{H}_b{H}_a$. По совершенно аналогичным причинам $H_{a}H$ и $H_{c}H$ тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что $AB,$ $BC,$ $CA$ — внешние биссектрисы к треугольнику $\mathrm{△}{H}_c{H}_b{H}_a$ (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

рисунок 3

рисунок 4

Из этого получим, что середины отрезков $HA,HB,HC$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

рисунок 5

Получим, что середины сторон $AB,BC,CA$ лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника $ABC$ c тупым углом $A$, достаточно рассмотреть остроугольный треугольник $BCH$ с ортоцентром $A$, и применить к нему те же рассуждения.

См. также

• Формула Эйлера
• Теорема Мансиона
• Вписанная окружность
• Вневписанная окружность
• Инцентр
• Окружность
• Описанная окружность
• Конфигурация Джонсона
• Теорема Фусса