Лемма о трезубце

Лемма о трезубце, также называемая леммой о трилистнике и леммой Мансиона, — теорема в геометрии треугольника, связанная со свойствами вписанной, вневписанной и описанной окружностей треугольника.

Лемма о трезубце используется как вспомогательное утверждение при доказательстве многих теорем, в частности, формулы Эйлера или доказательстве существования окружности Эйлера.

Название «лемма Мансиона» было дано в честь бельгийского математика Поля Мансьона. Название же «лемма о трезубце» было дано благодаря сходству с одноимённым оружием ключевой для леммы конструкции (красная на рисунках ниже).

Формулировка

Пусть у треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] точка [math]\displaystyle{ I }[/math] — центр вписанной окружности, точка [math]\displaystyle{ I_a }[/math] — центр вневписанной окружности, противоположной вершине [math]\displaystyle{ A }[/math], а точка [math]\displaystyle{ L }[/math] — точка пересечения отрезка [math]\displaystyle{ II_a }[/math] с дугой описанной окружности (см. справа). Тогда точка [math]\displaystyle{ L }[/math] равноудалена от [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ I_a }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math].

Частные варианты этого утверждения носят различные названия

Теорема Мансиона^[1]: [math]\displaystyle{ L }[/math] равноудалена от [math]\displaystyle{ I }[/math] и [math]\displaystyle{ I_a }[/math].
Лемма о трилистнике^[2], или лемма о трезубце^[3], или лемма Мансиона^[4]: [math]\displaystyle{ L }[/math] равноудалена от [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math].
Лемма о трезубце^[5]: [math]\displaystyle{ L }[/math] равноудалена от [math]\displaystyle{ I }[/math], [math]\displaystyle{ I_a }[/math], [math]\displaystyle{ B }[/math] и [math]\displaystyle{ C }[/math].

Другой вариант задания точки [math]\displaystyle{ L }[/math] — как центра дуги [math]\displaystyle{ BC }[/math] описанной окружности, не содержащей точки [math]\displaystyle{ A }[/math]^[4].

Доказательство

Под [math]\displaystyle{ \angle A, \angle B }[/math] будем понимать углы [math]\displaystyle{ \angle BAC, \angle ABC }[/math] соответственно. Если луч [math]\displaystyle{ AI }[/math] пересекает описанную окружность в точке [math]\displaystyle{ L }[/math], то [math]\displaystyle{ L }[/math] является средней точкой дуги [math]\displaystyle{ BC }[/math], отрезок [math]\displaystyle{ AL }[/math] является биссектрисой угла [math]\displaystyle{ \angle A }[/math]. Проведя отрезок [math]\displaystyle{ BI }[/math], заметим, что

[math]\displaystyle{ \angle BIL = \angle A / 2 + \angle B/ 2, }[/math]

потому что [math]\displaystyle{ \angle BIL }[/math] внешний к треугольнику [math]\displaystyle{ \triangle AIB }[/math], а также

[math]\displaystyle{ \angle LBI = \angle LBC + \angle CBI = \angle A/2 + \angle B/2, }[/math] потому что [math]\displaystyle{ \angle LBC }[/math] и [math]\displaystyle{ \angle LAC = \angle A/2 }[/math] равны, так как опираются на одну дугу [math]\displaystyle{ LC }[/math].

Значит, треугольник [math]\displaystyle{ \triangle BLI }[/math] равнобедренный, т.е, [math]\displaystyle{ BL = LI. }[/math] Равенство [math]\displaystyle{ CL = BL }[/math] следует из того, что на обе эти хорды опирается одинаковый угол [math]\displaystyle{ \angle A/2. }[/math] Таким образом, [math]\displaystyle{ BL = LI = LC. }[/math]

Мы показали, что [math]\displaystyle{ BL = LI = LC }[/math]. Теперь докажем что «ручка» трезубца [math]\displaystyle{ LI_a }[/math] равна этой же величине.

Продлим сторону [math]\displaystyle{ AB }[/math] за точку [math]\displaystyle{ B }[/math] и возьмём где-нибудь на этом продолжении точку [math]\displaystyle{ E }[/math]. Под [math]\displaystyle{ \angle A }[/math] будем понимать [math]\displaystyle{ \angle BAC, }[/math] под [math]\displaystyle{ \angle B }[/math] будем иметь в виду угол [math]\displaystyle{ \angle EBC = 180^\circ - \angle ABC. }[/math]

Тогда нам нужно понять, что треугольник [math]\displaystyle{ \triangle BLI_a }[/math] равнобедренный, то есть, что [math]\displaystyle{ \angle LBI_a = \angle LI_aB }[/math].

С одной стороны,

[math]\displaystyle{ \angle LBI_a = \angle B/2 - \angle A/2 }[/math]

и

[math]\displaystyle{ \angle EBI_a = \angle A/2 + \angle BI_aA }[/math] так как [math]\displaystyle{ \angle EBI_a }[/math] внешний в треугольнике :[math]\displaystyle{ \triangle BI_aA, }[/math] т.е, [math]\displaystyle{ \angle B/2 - \angle A/2 = \angle BI_aA }[/math]

Вариации и обобщения

Лемма о трезубце для двух центров вневписанных окружностей («внешняя» лемма о трезубце)

Связь с окружностью Эйлера

Через лемму о трезубце можно доказать существование окружности Эйлера.

Рассмотрим остроугольный треугольник ABC. Заметим, что четырёхугольники [math]\displaystyle{ AH_cHH_b }[/math], [math]\displaystyle{ BH_cHH_a }[/math], [math]\displaystyle{ H_bHH_aC }[/math] вписаны (рис. 1). Поэтому равны углы [math]\displaystyle{ \measuredangle HH_bH_c =\measuredangle HAH_c =\measuredangle HCH_a = \measuredangle HH_bH_a }[/math] (рис 2).

Из этого следует, что [math]\displaystyle{ H_bH }[/math] — биссектриса в треугольнике [math]\displaystyle{ \triangle H_cH_bH_a }[/math]. По совершенно аналогичным причинам [math]\displaystyle{ H_aH }[/math] и [math]\displaystyle{ H_cH }[/math] тоже биссектрисы в этом треугольнике (рис 3). Также можно заметить, что [math]\displaystyle{ AB, }[/math] [math]\displaystyle{ BC, }[/math] [math]\displaystyle{ CA }[/math] — внешние биссектрисы к треугольнику [math]\displaystyle{ \triangle H_cH_bH_a }[/math] (потому что каждая из них перпендикулярна своей внутренней биссектрисе). Поэтому можно применить лемму о трезубце трижды, для каждой из сторон (рис 4).

Из этого получим, что середины отрезков [math]\displaystyle{ HA, HB, HC }[/math] лежат на окружности, описанной около ортотреугольника. Теперь трижды применим внешнюю лемму о трезубце (рис 5).

Получим, что середины сторон [math]\displaystyle{ AB, BC, CA }[/math] лежат на окружности, описанной около ортотреугольника.

Замечание

Для того, чтобы доказать существование окружности Эйлера для тупоугольного треугольника [math]\displaystyle{ ABC }[/math] c тупым углом [math]\displaystyle{ A }[/math], достаточно рассмотреть остроугольный треугольник [math]\displaystyle{ BCH }[/math] с ортоцентром [math]\displaystyle{ A }[/math], и применить к нему те же рассуждения.

См. также

Примечания

↑ Задача 52395 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»
↑ Р. К. Гордин. Теоремы и задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни. — 3-е изд. — МЦНМО, 2018. — С. 43. — ISBN 978-5-4439-2681-0.
↑ Акопян А. В. Геометрия в картинках.
↑ ^{Перейти обратно: 4,0} ^4,1 Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина. — Математика в школе, 2006. — № 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.
↑ Р. Н. Карасёв. Задачи для школьного математического кружка / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4.

[1] Задача 52395 Архивная копия от 4 марта 2016 на Wayback Machine // «Система задач по геометрии Р. К. Гордина»

[2] Р. К. Гордин. Теоремы и задачи школьной геометрии. Базовый и профильный уровни. — 3-е изд. — МЦНМО, 2018. — С. 43. — ISBN 978-5-4439-2681-0.

[3] Акопян А. В. Геометрия в картинках.

[emelyanov-4] {Перейти обратно: 4,0} ^4,1 Емельянов Л. А. Точка Шиффлера: памяти И. Ф. Шарыгина. — Математика в школе, 2006. — № 6. — С. 58—60. — ISSN 0130-9358.

[5] Р. Н. Карасёв. Задачи для школьного математического кружка / Р. Н. Карасёв, В. Л. Дольников, И. И. Богданов, А. В. Акопян. — С. 4.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]