Необходимое и достаточное условия
Необходи́мое усло́вие и доста́точное усло́вие — виды условий, логически связанных с некоторым суждением. Различие этих условий используется в логике и математике для обозначения видов связи суждений.
Необходимое условие
Если импликация [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания [math]\displaystyle{ B }[/math] является необходимым условием для истинности высказывания [math]\displaystyle{ A }[/math][1][2].
Необходимыми условиями истинности утверждения А называются условия, без соблюдения которых А не может быть истинным.
Суждение P является необходимым условием суждения X, когда из (истинности) X следует (истинность) P. То есть, если P ложно, то заведомо ложно и X.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется свойством (элементов) M.
Достаточное условие
Если импликация [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] является абсолютно истинным высказыванием, то истинность высказывания [math]\displaystyle{ A }[/math] является достаточным условием для истинности высказывания [math]\displaystyle{ B }[/math][1][2].
Достаточными называются такие условия, при наличии (выполнении, соблюдении) которых утверждение B является истинным.
Суждение P является достаточным условием суждения X, когда из (истинности) P следует (истинность) X, то есть в случае истинности P проверять X уже не требуется.
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение P называется признаком принадлежности классу M.
Необходимое и достаточное условие
Суждение K является необходимым и достаточным условием суждения X, когда K является как необходимым условием X, так и достаточным. В этом случае говорят ещё что K и X равносильны, или эквивалентны, и обозначают [math]\displaystyle{ K\Leftrightarrow X }[/math] или [math]\displaystyle{ K \leftrightarrow X }[/math].
Это следует из тождественно истинной формулы, связывающей импликацию и операцию эквиваленции[3]:
[math]\displaystyle{ (X \leftrightarrow Y) \leftrightarrow (X \Rightarrow Y) \land (Y \Rightarrow X) }[/math]
Для суждений X типа «объект принадлежит классу M» такое суждение K называется критерием принадлежности классу M.
Вышеперечисленные утверждения о необходимом и достаточном условиях можно наглядно продемонстрировать пользуясь таблицей истинности логических выражений.
Рассмотрим случаи, когда импликация истинна. Действительно, если суждение [math]\displaystyle{ B }[/math] является необходимым условием для суждения [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ B }[/math] обязано быть истинно для истинности импликации, в то же время, суждение [math]\displaystyle{ A }[/math] является достаточным условием суждения [math]\displaystyle{ B }[/math] значит, что если истинно [math]\displaystyle{ A }[/math], то [math]\displaystyle{ B }[/math] обязано быть истинным.
Аналогичные рассуждения работают и обратном случае, когда суждение [math]\displaystyle{ A }[/math] является необходимым условием для суждения [math]\displaystyle{ B }[/math] и суждение [math]\displaystyle{ B }[/math] является достаточным условием суждения [math]\displaystyle{ A }[/math].
Если [math]\displaystyle{ A }[/math] является необходимым и достаточным условием [math]\displaystyle{ B }[/math], как видно из таблицы истинности, оба суждения обязаны быть истинны или оба суждения обязаны быть ложными.
| A | B | [math]\displaystyle{ A \Rightarrow B }[/math] | [math]\displaystyle{ A \Leftarrow B }[/math] | [math]\displaystyle{ A \Leftrightarrow B }[/math] |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Пример
Суждение X: «Вася получает стипендию в данном ВУЗе».
Необходимое условие P: «Вася — учащийся данного ВУЗа».
Достаточное условие Q: «Вася учится в данном ВУЗе без троек».
Следствие R: «Получать стипендию в данном ВУЗе».
Данную формулу можно изобразить в виде условного силлогизма несколькими способами:
1) формулой: (Q → R) ˄ (R → P) → (Q → P) ;
2) официально принятым форматом:
Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он получает стипендию.
Если Вася получает стипендию, то он — учащийся данного ВУЗа.
— — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — — —
Если Вася учится без троек в данном ВУЗе, то он — учащийся данного ВУЗа.
3) используя обычные речевые рассуждения:
Из того, что Вася — учащийся, ещё не следует, что он получает стипендию. Но это условие необходимо, то есть если Вася не учащийся, то он заведомо не получает стипендии.
Если же Вася учится в вузе без троек, то он заведомо получает стипендию. Тем не менее, студент Вася может получать стипендию (в виде пособия), если он учится с тройками, но, например, имеет хроническое заболевание.
Общее правило выглядит следующим образом:
В импликации A → B:
A — это достаточное условие для B, и
B — это необходимое условие для A.
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 Эдельман, 1975, с. 30.
- ↑ 2,0 2,1 Гиндикин, 1972, с. 21.
- ↑ Эдельман, 1975, с. 26.
Литература
- Эдельман С. Л. Математическая логика. — М.: Высшая школа, 1975. — 176 с.
- Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. — 288 с.
Ссылки
- Видео Архивная копия от 15 апреля 2016 на Wayback Machine о необходимом и достаточном условиях
- «Необходимость и достаточность Архивная копия от 10 октября 2019 на Wayback Machine» в учебнике MathIt
