Универсальное пространство

Универсальное пространство (относительно некоторого класса топологических пространств [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math]) — топологическое пространство [math]\displaystyle{ X }[/math] , такое, что [math]\displaystyle{ X }[/math] принадлежит классу [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] и каждое пространство [math]\displaystyle{ Y }[/math] из класса [math]\displaystyle{ \mathcal{K} }[/math] вкладывается в [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть [math]\displaystyle{ Y }[/math] гомеоморфно подпространству пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]. С помощью универсальных пространств можно свести изучение класса топологических пространств к изучению подпространств конкретного пространства. Часто для доказательства универсальности пространства используется теорема о диагональном отображении.

Примеры

Примеры универсальных пространств (далее [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] — кардинал, такой, что [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] бесконечный):

• Александровский куб [math]\displaystyle{ F^{\mathfrak{m}} }[/math] — [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]-я степень связного двоеточия [math]\displaystyle{ F }[/math] (то есть пространства [math]\displaystyle{ \{0;1\} }[/math] с топологией, состоящей из пустого множества, всего пространства и множества [math]\displaystyle{ \{0\} }[/math]) — универсален для всех T₀-пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math].
• Тихоновский куб [math]\displaystyle{ I^{\mathfrak{m}} }[/math] — [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]-я степень единичного отрезка [math]\displaystyle{ I=[0;1] }[/math] — универсален для всех тихоновских пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math] и для всех компактных хаусдорфовых пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math].
• Гильбертов кирпич [math]\displaystyle{ I^{\aleph_0} }[/math] — счётная степень единичного отрезка — универсален для всех метризуемых компактов и для всех метризуемых сепарабельных пространств.
• [math]\displaystyle{ J(\mathfrak{m})^{\aleph_0} }[/math] — счётная степень ежа колючести [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] — универсально для всех метризуемых пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math].
• Пространство рациональных чисел [math]\displaystyle{ \Q }[/math] (с естественной топологией) универсально для всех счётных метризуемых пространств.
• Канторов куб [math]\displaystyle{ D^{\mathfrak{m}} }[/math] — [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math]-я степень двухточечного дискретного пространства — универсален для всех нульмерных пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math].
• Пространство Бэра [math]\displaystyle{ B(\mathfrak{m})=D(\mathfrak{m})^{\aleph_0} }[/math] — счётная степень дискретного пространства мощности [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} }[/math] — универсально для всех нульмерных в смысле Ind метризуемых пространств веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math].
• Подпространство евклидова пространства [math]\displaystyle{ \R^{2n+1} }[/math], образованное всеми точками, не более чем [math]\displaystyle{ n }[/math] координат которых рациональны, универсально для всех метризуемых сепарабельных пространств размерности не больше [math]\displaystyle{ n }[/math].
• Существует компакт, универсальный для всех тихоновских пространств [math]\displaystyle{ X }[/math] веса [math]\displaystyle{ \mathfrak{m} \geqslant \aleph_0 }[/math], таких, что [math]\displaystyle{ \dim X\leqslant n }[/math] (то есть размерность Лебега [math]\displaystyle{ X }[/math] не больше [math]\displaystyle{ n }[/math]).

Литература

• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.