Нигде не плотное множество

Нигде не плотное множество — множество [math]\displaystyle{ A }[/math] топологического пространства [math]\displaystyle{ (X,\tau) }[/math], внутренность замыкания которого пуста ([math]\displaystyle{ \operatorname{Int} \bar A = \varnothing }[/math]), иначе говоря, множество, которое не является плотным ни в одной окрестности пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].

Эквивалентно, множество [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] является нигде не плотным в [math]\displaystyle{ X }[/math] тогда и только тогда, когда в каждом непустом открытом множестве [math]\displaystyle{ U }[/math] можно найти непустое открытое множество [math]\displaystyle{ V }[/math], не пересекающееся с [math]\displaystyle{ A }[/math] (то есть [math]\displaystyle{ V \subseteq U \setminus A }[/math]).

Свойства

• Семейство [math]\displaystyle{ {\rm NWD} (X) }[/math] всех нигде не плотных множеств пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] образуют идеал подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math], то есть:

  если [math]\displaystyle{ A, B \in {\rm NWD} (X) }[/math], то [math]\displaystyle{ A \cup B \in {\rm NWD} (X) }[/math],

  если [math]\displaystyle{ A \in {\rm NWD} (X) }[/math] и [math]\displaystyle{ B \subseteq A }[/math], то [math]\displaystyle{ B \in {\rm NWD} (X) }[/math],

  [math]\displaystyle{ X \notin {\rm NWD} (X) }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ A \subseteq Y \subseteq X }[/math] и [math]\displaystyle{ A }[/math] является нигде не плотным в [math]\displaystyle{ Y }[/math] ([math]\displaystyle{ A \in {\rm NWD} (Y) }[/math] где топология в [math]\displaystyle{ Y }[/math] индуцированна от [math]\displaystyle{ X }[/math]), тогда [math]\displaystyle{ A \in {\rm NWD} (X) }[/math].
• Пусть [math]\displaystyle{ A \subseteq Y \subseteq X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — плотное подмножество в [math]\displaystyle{ X }[/math]. Тогда [math]\displaystyle{ A \in {\rm NWD} (X) }[/math] тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ A \in {\rm NWD} (Y) }[/math].
• Множество [math]\displaystyle{ A }[/math] является нигде не плотным тогда и только тогда, когда его замыкание является нигде не плотным множеством. Таким образом, каждое нигде не плотное множество содержится в некотором замкнутом нигде не плотном множестве.
• Замкнутое нигде не плотное множество является границей открытого множества.

См. также

• Множество первой категории

Литература

• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• О. Виро. Элементарная топология. 2010.