Дисконтинуум
Дисконтинуум — нульмерный[1] совершенный компакт.
Примеры
Первый пример дисконтинуума обнаружил Георг Кантор — канторово множество. Дисконтинуумы с интересными свойствами в трёхмерном евклидовом пространстве построили Павел Урысон и Луи Антуан. Так, ожерелье Антуана — дисконтинуум, дополнение к которому неодносвязно.
Свойства
- Все дисконтинуумы гомеоморфны канторову множеству.
- Каждый метризуемый компакт есть непрерывный образ канторова множества.
- Каждый совершенный метризуемый компакт содержит канторово множество.
- Следовательно, каждый метризуемый компакт либо счётен, либо имеет мощность континуума.
Примечания
- ↑ Компакт [math]\displaystyle{ K }[/math] нульмерен, если для любой пары его точек [math]\displaystyle{ a, b \in K }[/math] он может быть представлен в виде суммы двух непересекающихся замкнутых подмножеств [math]\displaystyle{ K_1 \cup K_2 }[/math], для которых [math]\displaystyle{ a \in K_1, b \in K_2 }[/math]
Литература
- Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
- Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. — М.: Наука, 1968.
- Урысон П. С. О канторовых многообразиях, ч.1 // Труды по топологии и другим областям математики. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1954. — Т. 1.