Канторова лестница

Канторова лестница

Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции [math]\displaystyle{ [0,1]\to [0,1] }[/math], которая не является константой, но при этом имеет производную, равную нулю в почти всех точках (сингулярной функции). Иногда называется «Чёртовой лестницей» или «дьявольской лестницей».

Построения

Стандартное

В точках 0 и 1 значение функции принимается равным соответственно 0 и 1. Далее интервал (0, 1) разбивается на три равные части [math]\displaystyle{ \left(0,\frac{1}{3}\right) }[/math], [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right) }[/math] и [math]\displaystyle{ \left(\frac{2}{3},1\right) }[/math]. На среднем сегменте полагаем [math]\displaystyle{ F(x) = \frac{1}{2} }[/math]. Оставшиеся два сегмента снова разбиваются на три равные части каждый, и на средних сегментах [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] полагается равной [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] и [math]\displaystyle{ \frac{3}{4} }[/math]. Каждый из оставшихся сегментов снова делится на три части, и на внутренних сегментах [math]\displaystyle{ F(x) }[/math] определяется как постоянная, равная среднему арифметическому между соседними, уже определенными значениями [math]\displaystyle{ F(x) }[/math]. На остальных точках единичного отрезка определяется по непрерывности. Полученная функция называется канторовой лестницей.

По двоичной и троичной записи

Любое число [math]\displaystyle{ x\in[0,1] }[/math] можно представить в троичной системе счисления [math]\displaystyle{ x=(0{,}a_1a_2\dots)_3 }[/math], [math]\displaystyle{ a_i\in\{0,1,2\} }[/math]. Если в записи [math]\displaystyle{ 0{,}a_1a_2\dots }[/math] встречается 1, выбросим из неё все последующие цифры и в оставшейся последовательности заменим каждую двойку на 1. Получившаяся последовательность [math]\displaystyle{ 0{,}b_1b_2\dots }[/math] даёт запись значения канторовой лестницы в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] в двоичной системе счисления.

Свойства

• Производная канторовой лестницы определена и равна нулю во всех точках, кроме канторова множества.
• Канторова лестница непрерывна, ограниченной вариации, но не абсолютно непрерывна.
• Канторова лестница не обладает свойством Лузина.

См. также

• Функция Минковского
• Фрактал