Компактификация

Компактификация — операция, которая преобразует топологические пространства в компактные.

Определение

Формально компактификация пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] определяется как пара [math]\displaystyle{ (Y,\;f) }[/math], где [math]\displaystyle{ Y }[/math] компактно, [math]\displaystyle{ f:X \to Y }[/math] вложение такое, что [math]\displaystyle{ f(X) }[/math] плотно в [math]\displaystyle{ Y }[/math].

Примеры

• Вещественная проективная плоскость является одной из компактификаций Евклидовой плоскости. Другая её (одноточечная) копактификация гомеоморфна сфере.

Одноточечная компактификация

Одноточечная компактификация (или компактификация Александрова) устроена следующим образом. Пусть [math]\displaystyle{ Y=X \cup \{\infty\} }[/math] и открытыми множествами в [math]\displaystyle{ Y }[/math] считаются все открытые множества [math]\displaystyle{ X }[/math], а также множества вида [math]\displaystyle{ O \cup \{\infty\} }[/math], где [math]\displaystyle{ O \subseteq X }[/math] имеет замкнутое и компактное (в [math]\displaystyle{ X }[/math]) дополнение. [math]\displaystyle{ f }[/math] берётся как естественное вложение [math]\displaystyle{ X }[/math] в [math]\displaystyle{ Y }[/math]. [math]\displaystyle{ (Y,\; f) }[/math] тогда компактификация, причём [math]\displaystyle{ Y }[/math] хаусдорфово тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ X }[/math] хаусдорфово и локально компактно.

Примеры

• [math]\displaystyle{ \R \cup \{\infty\} }[/math] с топологией, сконструированной как указано выше, является компактным пространством. Нетрудно доказать, что если два пространства гомеоморфны, то и соответствующие одноточечные компактификации гомеоморфны.
  • В частности, так как окружность на плоскости без одной точки гомеоморфна с [math]\displaystyle{ \R }[/math] (пример гомеоморфизма — стереографическая проекция), целая окружность гомеоморфна с [math]\displaystyle{ \R \cup \{\infty\} }[/math].
  • Аналогично, [math]\displaystyle{ \mathbb R^n \cup \{\infty\} }[/math] гомеоморфно [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерной сфере.

Компактификация Стоуна — Чеха

На компактификациях некоторого фиксированного пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] можно ввести частичный порядок. Положим [math]\displaystyle{ f_1 \leqslant f_2 }[/math] для двух компактификаций [math]\displaystyle{ f_1: X \to Y_1 }[/math], [math]\displaystyle{ f_2: X \to Y_2 }[/math], если существует непрерывное отображение [math]\displaystyle{ g: Y_2 \to Y_1 }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ g f_2 = f_1 }[/math]. Максимальный (с точностью до гомеоморфизма) элемент в этом порядке называется компактификацией Стоуна — Чеха и обозначается [math]\displaystyle{ \beta X }[/math]. Для того, чтобы у пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] существовала компактификация Стоуна — Чеха, удовлетворяющая аксиоме отделимости Хаусдорфа, необходимо и достаточно, чтобы [math]\displaystyle{ X }[/math] удовлетворяло аксиоме отделимости [math]\displaystyle{ T_{3\frac{1}{2}} }[/math], то есть было вполне регулярным.