База топологии

База топологии (база топологического пространства, базис топологии, открытая база) — семейство открытых подмножеств топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math], такое, что любое открытое множество в [math]\displaystyle{ X }[/math] представимо в виде объединения элементов этого семейства.

Часто базу топологии предъявляют для того, чтобы ввести топологию. Например, на метрическом пространстве топология определяется через базу, образованную всеми открытыми шарами.

Определение

Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] открытых множеств топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется базой топологии (или топологического пространства), если любое открытое множество из [math]\displaystyle{ X }[/math] представимо в виде объединения элементов семейства [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math].

Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] открытых множеств топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] является базой, тогда и только тогда, когда для каждой точки [math]\displaystyle{ x }[/math] пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и её окрестности [math]\displaystyle{ U }[/math] найдётся множество [math]\displaystyle{ V }[/math] из [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ x\in V\subset U }[/math].

Вес топологического пространства

Минимальная мощностей всех баз пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] называется весом топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math]. Вес пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] обычно обозначается [math]\displaystyle{ w(X) }[/math].

Свойства

Для каждой базы [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] существует подмножество [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_0 }[/math], являющееся базой и имеющее мощность, равную весу пространства.
Если вес пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] не более, чем счетный (то есть [math]\displaystyle{ X }[/math] имеет счётную базу), то [math]\displaystyle{ X }[/math] называют пространством со второй аксиомой счетности.
В пространстве веса [math]\displaystyle{ \tau }[/math] существует всюду плотное множество мощности [math]\displaystyle{ \leqslant \tau }[/math].

Вариации и обобщения

Локальная база пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] (база точки [math]\displaystyle{ x }[/math]) — семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}(x) }[/math] окрестностей точки [math]\displaystyle{ x }[/math] со свойством: для любой окрестности [math]\displaystyle{ O_x }[/math] точки [math]\displaystyle{ x }[/math] найдется элемент [math]\displaystyle{ V \in \mathfrak{B}(x) }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ x \in V \subset O_x }[/math].
- Минимум мощностей всех локальных баз пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] называется характером пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \chi(x,X) }[/math].
- Супремум характеров пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] во всех точках [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] называется характером пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] и обозначается [math]\displaystyle{ \chi(X) }[/math].
- Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются пространствами с первой аксиомой счетности.
- Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] открытых в X множеств является базой тогда и только тогда, когда для каждой точки [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] подсемейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}(x) }[/math] всех элементов [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math], содержащих точку [math]\displaystyle{ x }[/math] является локальной базой точки [math]\displaystyle{ x }[/math].
Система окрестностей — это семейство [math]\displaystyle{ \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}(x) }[/math] является локальной базой пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] для каждого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math].
Предбаза — семейство [math]\displaystyle{ Y }[/math] открытых подмножеств топологического пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] такое, что совокупность всех множеств, являющихся пересечением конечного числа элементов [math]\displaystyle{ Y }[/math], образует базу пространства [math]\displaystyle{ X }[/math].
Замкнутая база — семейство всех дополнений к элементам некоторой базы.
[math]\displaystyle{ \pi }[/math]-база (решёточная база) — семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] непустых открытых подмножеств пространства [math]\displaystyle{ X }[/math] такое, что всякое непустое открытое в [math]\displaystyle{ X }[/math] множество содержит множество из [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] плотно по Хаусдорфу в пространстве [math]\displaystyle{ X }[/math]. Любая база есть [math]\displaystyle{ \pi }[/math]-база. Обратное неверно, например, в компактификации Стоуна — Чеха [math]\displaystyle{ \beta \mathbb{N} }[/math] множества натуральных чисел семейство одноточечных подмножеств множества [math]\displaystyle{ \mathbb{N} }[/math] является [math]\displaystyle{ \pi }[/math]-базой, но не является базой.
Псевдобаза — такое семейство открытых подмножеств, что пересечение всех его элементов, содержащих фиксированную точку, совпадает с этой точкой. Существует только в T₁-пространствах. Пример пространства со счётной псевдобазой, в котором нет счётной базы — пространство последовательностей нулей и единиц с дискретной топологией (псевдобаза — множества, состоящие из всех последовательностей с фиксированным значением на некоторой позиции).

Задание топологии с помощью базы, предбазы и системы окрестностей

Семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] подмножеств произвольного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] является базой некоторой топологии на [math]\displaystyle{ X }[/math] в том, и только в том случае, когда [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] удовлетворяет следующим условиям:

Каждая точка [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] принадлежит некоторому множеству [math]\displaystyle{ U }[/math] из семейства [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math].
Для любых множеств [math]\displaystyle{ U,V\in \mathfrak{B} }[/math] и точки [math]\displaystyle{ x\in U\cap V }[/math] существует множество [math]\displaystyle{ W\in \mathfrak{B} }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ x\in W\subset U\cap V }[/math].

В этом случае [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] является базой топологии на [math]\displaystyle{ X }[/math], в которой множества открыты тогда и только тогда, когда они представимы в виде объединения некоторых подмножеств из [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math]. Такую топологию называют топологией, порождённой базой [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math].

Для того, чтобы семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math] подмножеств произвольного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] было предбазой некоторой топологии на [math]\displaystyle{ X }[/math] необходимо и достаточно выполнение вышеуказанного условия 1. При этом в этой топологии открыты те и только те множества, которые представимы в виде объединения конечных пересечений некоторых подмножеств из [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math]. Такую топологию называют топологией, порождённой предбазой [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math]. Это наименьшая топология, содержащая семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B} }[/math].

Совокупность [math]\displaystyle{ \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} }[/math] семейств подмножеств произвольного множества [math]\displaystyle{ X }[/math] является системой окрестностей некоторой топологии на [math]\displaystyle{ X }[/math] тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям:

Для каждого [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] семейство [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}(x) }[/math] непусто и [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] для любого [math]\displaystyle{ U\in \mathfrak{B}(x) }[/math].
Для всякого [math]\displaystyle{ y\in U\in \mathfrak{B}(x) }[/math] найдётся [math]\displaystyle{ V\in \mathfrak{B}(y) }[/math] такое, что [math]\displaystyle{ V\subset U }[/math].
Для всяких множеств [math]\displaystyle{ V,W\in \mathfrak{B}(x) }[/math] существует [math]\displaystyle{ U\in \mathfrak{B}(x) }[/math], такое, что [math]\displaystyle{ U\subset V\cap W }[/math].

В этом случае [math]\displaystyle{ \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} }[/math] является системой окрестностей топологии на [math]\displaystyle{ X }[/math], состоящей из всех подмножеств, представимых в виде объединения подсемейств семейства [math]\displaystyle{ \bigcup_{x\in X} \mathfrak{B}(x) }[/math]. Такую топологию называют топологией, порождённой системой окрестностей [math]\displaystyle{ \{ \mathfrak{B}(x) \}_{x\in X} }[/math].

Примеры

Базой любого топологического пространства является семейство всех его открытых множеств.
Дискретная топология имеет в качестве базы семейство всех его одноточечных подмножеств.
Если [math]\displaystyle{ X }[/math] и [math]\displaystyle{ Y }[/math] — топологические пространства с базами топологий [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_X }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_Y }[/math], тогда топология на декартовом произведении [math]\displaystyle{ X\times Y }[/math] задаётся с помощью базы

[math]\displaystyle{ \mathfrak{B}_{X\times Y} = \{U\times V\,: U\in\mathfrak{B}_X,\,V\in\mathfrak{B}_Y\} }[/math]
При этом топология на [math]\displaystyle{ X\times Y }[/math] не будет зависеть от того, какие базы пространств X и Y используются для её задания. Такая топология называется (стандартной) топологией декартова произведения топологических пространств.

Топология пространства действительных чисел [math]\displaystyle{ \R }[/math] задаётся системой всех интервалов [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], которая составляет базу этой топологии. Аналогично топология пространства [math]\displaystyle{ {\R}^n }[/math] задаётся базой открытых брусов [math]\displaystyle{ (a_1,b_1)\times(a_2,b_2)\times\dots\times(a_n,b_n) }[/math], и эта топология, очевидно, совпадает со стандартной топологией прямого произведения пространств.
Упорядоченная топология обычно определяется как топология порождённая набором открыто-интервальных множеств.
Метрическая топология обычно определяется как топология порождённая набором открытых шаров, задаваемых определенной метрикой.

См. также

Литература

Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.—Л., 1948.
Урысон П. С. Труды по топологии и другим областям математики. — Т. 1—2. — М.—Л., 1951.
Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. Введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности. — М., 1973.
Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. — М., 1974.
Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры / Пер. с франц. — М., 1968.
Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.
Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.

Ссылки

База топологии — статья из Математической энциклопедии. А. А. Мальцев