Мультииндекс

Мультииндекс (или мульти-индекс) — обобщение понятия целочисленного индекса до векторного индекса, которое нашло применение в различных областях математики, связанных с функциями многих переменных. Использование мультииндекса помогает упростить (записать более кратко) математические формулы.

Математическая запись мультииндекса

n-мерный мультииндекс — это вектор

[math]\displaystyle{ \alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n), }[/math]

составленный из неотрицательных чисел. Для двух мультииндексов [math]\displaystyle{ \alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0 }[/math] и вектора [math]\displaystyle{ x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n }[/math] вводятся:

Покомпонентное сложение и вычитание

[math]\displaystyle{ \alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n) }[/math]

Частичная упорядоченность

[math]\displaystyle{ \alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\} }[/math]

Абсолютное значение как сумма компонентов

[math]\displaystyle{ | \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n }[/math]

Факториал

[math]\displaystyle{ \alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n! }[/math]

Биномиальный коэффициент

[math]\displaystyle{ {\alpha \choose \beta} ={\alpha_1 \choose \beta_1}{\alpha_2 \choose \beta_2}\cdots{\alpha_n \choose \beta_n} }[/math]

Возведение в степень

[math]\displaystyle{ x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n} }[/math]

Старшая частная производная

[math]\displaystyle{ \partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n} }[/math] где [math]\displaystyle{ \partial_i^{\alpha_i}:=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i} }[/math]

Некоторые приложения

Использование мультииндекса позволяет без проблем расширить многие формулы классического анализа на многомерный случай. Вот некоторые примеры:

Мультиномиальные коэффициенты

Имеется в виду обобщение формулы Бернулли на многомерный случай:

[math]\displaystyle{ \biggl( \sum_{i=1}^n x_i\biggr)^k = \sum_{|\alpha|=k} \frac{k!}{\alpha!} \, x^\alpha }[/math]

Формула Лейбница

Для гладких функций f и g

[math]\displaystyle{ \partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} {\alpha \choose \nu} \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g. }[/math]

Разложение в ряд Тейлора

Для аналитической функции f от n переменных справедливо разложение

[math]\displaystyle{ f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0}^{}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}. }[/math]

Фактически, для достаточно гладких функций выполняется конечная формула Тейлора

[math]\displaystyle{ f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_n(x,h), }[/math]

где последний член (остаток) может быть записан в различных формах. Например, в (интегральной) форме Коши получим

[math]\displaystyle{ R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !}\int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th)\,dt. }[/math]

Оператор дифференцирования

Формальный оператор взятия частной производной N-го порядка в n-мерном пространстве записывается следующим образом:

[math]\displaystyle{ P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N}{}{a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}. }[/math]

Интегрирование по частям

Для достаточно гладких финитных функций в ограниченной области [math]\displaystyle{ \Omega \subset \mathbb{R}^n }[/math] имеем:

[math]\displaystyle{ \int_{\Omega}{}{u(\partial^{\alpha}v)}\,dx = (-1)^{|\alpha|}\int_{\Omega}^{}{(\partial^{\alpha}u)v\,dx}. }[/math]

Эта формула используется в определении обобщённых функций и слабых производных.

Пример использования в теореме

Если [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0 }[/math] — это мультииндексы и [math]\displaystyle{ x=(x_1,\ldots, x_n) }[/math], то

[math]\displaystyle{ \partial^\alpha x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta,\\ 0 & \hbox{otherwise.} \end{cases} }[/math]

Доказательство

Доказательство опирается на правило взятия обыкновенной производной от степенной функции:

[math]\displaystyle{ \frac{d^\alpha}{dx^\alpha} x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \hbox{if}\,\, \alpha\le\beta, \\ 0 & \hbox{otherwise.} \end{cases}\qquad(1) }[/math]

Положим [math]\displaystyle{ \alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n) }[/math], [math]\displaystyle{ \beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n) }[/math] и [math]\displaystyle{ x=(x_1,\ldots, x_n) }[/math]. Тогда

[math]\displaystyle{ \begin{align}\partial^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\ &= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align} }[/math]

Здесь каждое дифференцирование [math]\displaystyle{ \partial/\partial x_i }[/math] сводится к соответствующей обыкновенной производной [math]\displaystyle{ d/dx_i }[/math], так как для каждого i из {1, . . ., n}, функция [math]\displaystyle{ x_i^{\beta_i} }[/math] зависит только от [math]\displaystyle{ x_i }[/math]. Поэтому из уравнения (1) следует, что [math]\displaystyle{ \partial^\alpha x^\beta }[/math] исчезает как только α_i > β_i для хотя бы одного i из {1, . . ., n}.В противном случае (когда α ≤ β) получаем

[math]\displaystyle{ \frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i} }[/math]

для каждого [math]\displaystyle{ i }[/math].[math]\displaystyle{ \Box }[/math]

Ссылки

Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9

Эта статья использует материалы со страницы multi-index derivative of a power на PlanetMath, которая имеет лицензию CC-BY-SA.