Сепарабельное расширение

Сепара́бельное расширение — алгебраическое расширение поля [math]\displaystyle{ E \supset K }[/math], состоящее из сепарабельных элементов, то есть таких элементов [math]\displaystyle{ \alpha }[/math], минимальный аннулятор [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] для которых не имеет кратных корней. Производная [math]\displaystyle{ f'(x) }[/math] должна быть в этой связи ненулевым многочленом. По определению все поля характеристики 0 сепарабельны, поэтому понятие сепарабельности нетривиально лишь для полей ненулевой характеристики [math]\displaystyle{ p }[/math].

Для конечных расширений имеет место следующее утверждение: если [math]\displaystyle{ K \subset E \subset K^* }[/math], где [math]\displaystyle{ K^* }[/math] — алгебраическое замыкание поля [math]\displaystyle{ K }[/math], то [math]\displaystyle{ E }[/math] сепарабельно тогда и только тогда, когда число различных изоморфизмов [math]\displaystyle{ \sigma }[/math] поля [math]\displaystyle{ E }[/math] в алгебраическое замыкание [math]\displaystyle{ K^* }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math] равно степени [math]\displaystyle{ [E:K] }[/math]. В случае несепарабельных расширений это число является делителем [math]\displaystyle{ [E:K] }[/math] и называется сепарабельной степенью [math]\displaystyle{ [E:K]_s }[/math] (частное равно некоторой степени характеристики).

Свойства сепарабельных расширений

Если расширения [math]\displaystyle{ E \supseteq K }[/math] и [math]\displaystyle{ F \supseteq E }[/math] сепарабельны, то и расширение [math]\displaystyle{ F \supseteq K }[/math] сепарабельно. Обратно, если [math]\displaystyle{ F \supseteq K }[/math] сепарабельно, то и [math]\displaystyle{ E \subseteq K }[/math] и [math]\displaystyle{ F \subseteq E }[/math] сепарабельны.

Если расширение [math]\displaystyle{ E \supseteq K }[/math] сепарабельно, то для любого расширения [math]\displaystyle{ F \supseteq K }[/math] (если [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ E }[/math] содержатся в каком-нибудь поле) композит полей [math]\displaystyle{ EF }[/math] является сепарабельным расширением [math]\displaystyle{ K }[/math].

Теорема о примитивном элементе: если [math]\displaystyle{ E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n) }[/math], где [math]\displaystyle{ \alpha_1 }[/math] алгебраичен (хотя и не обязательно сепарабелен) над [math]\displaystyle{ K }[/math], а [math]\displaystyle{ \alpha_2, \dots, \alpha_n }[/math] — алгебраичны и сепарабельны, то существует такой элемент [math]\displaystyle{ \theta }[/math] (называемый примитивным элементом), что [math]\displaystyle{ E=K(\theta) }[/math].

Обобщение сепарабельности на неалгебраические расширения

Расширение [math]\displaystyle{ E \supseteq K }[/math] называется линейно свободным от [math]\displaystyle{ L \supseteq K }[/math], если любое конечное множество элементов [math]\displaystyle{ E }[/math] линейно независимое над [math]\displaystyle{ K }[/math] остаётся линейно независимым и над [math]\displaystyle{ L }[/math]. Данное определение симметрично: если [math]\displaystyle{ E }[/math] линейно свободно от [math]\displaystyle{ L }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math], то и наоборот, [math]\displaystyle{ L }[/math] линейно свободно от [math]\displaystyle{ E }[/math] над [math]\displaystyle{ K }[/math].

Расширение (не обязательно алгебраическое) [math]\displaystyle{ E }[/math] над полем [math]\displaystyle{ K }[/math] называется сепарабельным, если оно для некоторого натурального [math]\displaystyle{ m }[/math] линейно свободно от расширения [math]\displaystyle{ K^{p^{-m}} }[/math] — порождённого присоединением всех корней степени [math]\displaystyle{ p^m }[/math] из элементов [math]\displaystyle{ K }[/math]. Для алгебраических расширений это определение эквивалентно обычному. От выбора числа [math]\displaystyle{ m }[/math] данное определение не зависит и равносильно линейной свободе [math]\displaystyle{ E }[/math] от [math]\displaystyle{ K^{p^{-\infty}} }[/math] — композита всех [math]\displaystyle{ K^{p^{-m}} }[/math] (критерий Маклейна).

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра . — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М.: Иностранная литература, 1963. — Т. 1 .
• Ленг С. Алгебра . — М.: Мир, 1967.