Подмногообразие

Подмногообразие ― термин, используемый для нескольких схожих понятий в общей топологии, дифференциальной геометрии и алгебраической геометрии.

Топологическое подмногообразие

В узком смысле слова топологическое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное подмногообразие [math]\displaystyle{ N }[/math] топологического [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерного многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] ― такое подмножество [math]\displaystyle{ N\subset M }[/math], которое в индуцированной топологии является [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерным многообразием.

В широком смысле слова топологическое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное подмногообразие топологического [math]\displaystyle{ m }[/math]-мерного многообразия [math]\displaystyle{ M }[/math] ― такое [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерное многообразие [math]\displaystyle{ N }[/math], которое как множество точек является подмножеством [math]\displaystyle{ M }[/math] (иными словами, [math]\displaystyle{ N }[/math] ― это подмножество [math]\displaystyle{ M }[/math], снабженное структурой [math]\displaystyle{ n }[/math]-мерного многообразия) и для которого тождественное вложение [math]\displaystyle{ i:N\to M }[/math] является погружением.

Подмногообразие в узком смысле является подмногообразиями в широком смысле, а последнее является подмногообразием в узком смысле тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ i }[/math] есть вложение в топологическом смысле (т. е. у каждой точки [math]\displaystyle{ p\in N }[/math] имеется сколь угодно малые окрестности в [math]\displaystyle{ N }[/math], являющиеся пересечениями с [math]\displaystyle{ N }[/math] некоторых окрестностей в [math]\displaystyle{ M }[/math]).

Связанные определения

• Число [math]\displaystyle{ m-n }[/math] называется коразмерностью подмногообразия [math]\displaystyle{ N }[/math].
• Подмножество [math]\displaystyle{ N\subset M }[/math] является локально плоским подмногообразием, если для каждой точки [math]\displaystyle{ p\in N }[/math] имеются такая окрестность [math]\displaystyle{ U }[/math] этой точки в [math]\displaystyle{ M }[/math] и такие локальные координаты [math]\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_m }[/math] в ней, что в терминах этих координат [math]\displaystyle{ N\cap U }[/math] описывается уравнениями [math]\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n+2}=...=x_{m}=0 }[/math].
  • Если при этом локальные координаты могут быть выбраны гладкими, то подмногообразие называется гладким подмногообразием.

Алгебраическая геометрия

В алгебраической геометрии подмногообразие ― замкнутое подмножество алгебраического многообразия в топологии Зарисского.

Этим формализуется идея, что подмногообразие задается алгебраическим уравнениями. Помимо перехода от [math]\displaystyle{ \R }[/math] к другим полям, изменение понятия подмногообразие в этом случае состоит в том, что допускаются подмногообразия с особенностями.