Главный идеал

Главный идеал — идеал, порождённый одним элементом.

Общепринятых обозначений для главных идеалов нет. Иногда используют обозначения [math]\displaystyle{ \mathrm{lid}_R a }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{rid}_R a }[/math], [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_R a }[/math] для левых, правых и двусторонних главных идеалов элемента [math]\displaystyle{ a }[/math] кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] соответственно.

Определение

Левый идеал кольца [math]\displaystyle{ R }[/math] называется главным левым идеалом, если он порождён одним элементом [math]\displaystyle{ a }[/math]. Аналогично определяются главные правые идеалы и главные двусторонние идеалы.

Если [math]\displaystyle{ R }[/math] — коммутативное кольцо, то эти три понятия эквивалентны. В этом случае идеал, порождённый [math]\displaystyle{ a }[/math], обозначают через [math]\displaystyle{ (a) }[/math].

В случае ассоциативного кольца с единицей главные идеалы описываются следующим образом.

• [math]\displaystyle{ \mathrm{l\,id}_R a = Ra=\{ra: r\in R\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathrm{r\,id}_R a = aR=\{ar: r\in R\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_R a = RaR = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n: r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R\} }[/math].

Если же [math]\displaystyle{ R }[/math] — ассоциативное кольцо (вообще говоря без единицы), то

• [math]\displaystyle{ \mathrm{l\,id}_R a = Ra + \mathbb{Z}a = \{ra + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathrm{r\,id}_R a = aR + \mathbb{Z}a = \{ar + ma: r \in R, m \in \mathbb{Z}\} }[/math].
• [math]\displaystyle{ \mathrm{id}_R a = RaR + aR + Ra + \mathbb{Z}a = \{r_1ar'_1 + r_2ar'_2 + \dots + r_nar'_n + ar' + r''a + ma: r', r'', r_1,r'_1,\dots,r_n,r'_n \in R, m \in \mathbb{Z}\} }[/math].

Не все идеалы — главные. Рассмотрим, например, коммутативное кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{C}[x,y] }[/math] многочленов с комплексными коэффициентами от двух переменных [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]. Идеал [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math], порождённый многочленами [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math], (то есть идеал, состоящий из многочленов, у которых свободный член равен нулю) не будет главным. Чтобы доказать это, допустим, что этот идеал порождается некоторым элементом [math]\displaystyle{ a\in\mathbb{C}[x,y] }[/math]; тогда на него должны делиться [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]. Это возможно, только если [math]\displaystyle{ a }[/math] — ненулевая константа. Но в [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]только одна константа — нуль. Приходим к противоречию.

Связанные определения

• Кольцо, все идеалы которого — главные, называется кольцом главных идеалов.
• Целостное кольцо главных идеалов называется также областью главных идеалов. В областях главных идеалов выполняется основная теорема арифметики (любой элемент однозначно разложим на простые множители); доказательство этого факта совпадает с доказательством для случая целых чисел.

Примеры

Все евклидовы кольца являются областями главных идеалов; в них для поиска порождающего элемента данного идеала можно использовать алгоритм Евклида. Вообще, у любых двух главных идеалов коммутативного кольца есть наибольший общий делитель в смысле умножения идеалов; благодаря этому в областях главных идеалов можно вычислять (с точностью до умножения на обратимый элемент) НОД элементов [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] как порождающий элемент идеала [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math].

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.