Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие коммутативной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля (произведение никакой пары ненулевых элементов не равно 0).

Эта статья следует соглашению о том, что области целостности имеют мультипликативный нейтральный элемент, обычно обозначаемый как 1, но некоторые авторы не требуют, чтобы области целостности имели мультипликативный нейтральный элемент.

Эквивалентное определение: область целостности — это коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел [math]\displaystyle{ \mathbb Z }[/math].
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}[x] }[/math] многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо [math]\displaystyle{ \mathbb{R}[x,y] }[/math] многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами. Также является целостным кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами из целостного кольца.
• Множество действительных чисел вида [math]\displaystyle{ a+b\sqrt{2} }[/math] есть подкольцо поля [math]\displaystyle{ \mathbb{R} }[/math], а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида [math]\displaystyle{ a+bi }[/math], где [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] целые (множество гауссовых целых чисел).
• Пусть [math]\displaystyle{ U }[/math] — связное открытое подмножество комплексной плоскости [math]\displaystyle{ \mathbb{C} }[/math]. Тогда кольцо [math]\displaystyle{ H(U) }[/math] всех голоморфных функций [math]\displaystyle{ f:U\rightarrow\mathbb{C} }[/math] будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если [math]\displaystyle{ K }[/math] — коммутативное кольцо, а [math]\displaystyle{ I }[/math] — идеал в [math]\displaystyle{ K }[/math], то факторкольцо [math]\displaystyle{ K/I }[/math] целостное тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ I }[/math] — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] — элементы целостного кольца [math]\displaystyle{ K }[/math]. Говорят, что «[math]\displaystyle{ a }[/math] делит [math]\displaystyle{ b }[/math]» или «[math]\displaystyle{ a }[/math] — делитель [math]\displaystyle{ b }[/math]» (и пишут [math]\displaystyle{ a\mid b }[/math]), тогда и только тогда, когда существует элемент [math]\displaystyle{ x\in K }[/math] такой, что [math]\displaystyle{ ax=b }[/math].

Делимость транзитивна: если [math]\displaystyle{ a }[/math] делит [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] делит [math]\displaystyle{ c }[/math], то [math]\displaystyle{ a }[/math] делит [math]\displaystyle{ c }[/math]. Если [math]\displaystyle{ a }[/math] делит [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ c }[/math], то [math]\displaystyle{ a }[/math] делит также их сумму [math]\displaystyle{ b+c }[/math] и разность [math]\displaystyle{ b-c }[/math].

Для кольца [math]\displaystyle{ K }[/math] с единицей делители единицы, то есть элементы [math]\displaystyle{ a\in K }[/math], делящие 1, называются также (алгебраическими) единицами. Они и только они в [math]\displaystyle{ K }[/math] имеют обратный элемент, так что делители единицы называются также обратимыми элементами. Обратимые элементы делят все остальные элементы кольца.

Элементы [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] называются ассоциированными, если [math]\displaystyle{ a }[/math] делит [math]\displaystyle{ b }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] делит [math]\displaystyle{ a }[/math]. [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] ассоциированны тогда и только тогда, когда [math]\displaystyle{ a = be }[/math], где [math]\displaystyle{ e }[/math] — обратимый элемент.

Ненулевой элемент [math]\displaystyle{ q }[/math], не являющийся единицей, называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся обратимыми.

Ненулевой необратимый элемент [math]\displaystyle{ p }[/math] называется простым, если из того, что [math]\displaystyle{ p\mid ab }[/math], следует [math]\displaystyle{ p\mid a }[/math] или [math]\displaystyle{ p\mid b }[/math]. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце [math]\displaystyle{ \mathbb{Z} }[/math], однако учитывает и отрицательные простые числа. Если [math]\displaystyle{ p }[/math] — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал [math]\displaystyle{ (p) }[/math] будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение даёт конструкция поля частных.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.