Амплитуда рассеяния

Амплиту́да рассе́яния в квантовой физике — характеристика рассеянной волны: амплитуда исходящей сферической волны относительно входящей плоской волны в процессе рассеяния в стационарном состоянии. Последнее описывается волновой функцией

[math]\displaystyle{ \psi(\mathbf{r}) = e^{ikz} + f(\theta)\frac{e^{ikr}}{r} \;, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \mathbf{r}\equiv\{x,y,z\} }[/math] — координатный вектор; [math]\displaystyle{ r\equiv|\mathbf{r}| }[/math]; [math]\displaystyle{ e^{ikz} }[/math] — входящая плоская волна с волновым вектором [math]\displaystyle{ k }[/math] вдоль оси [math]\displaystyle{ z }[/math]; [math]\displaystyle{ e^{ikr}/r }[/math] — исходящая сферическая волна; [math]\displaystyle{ \theta }[/math] — угол рассеяния; [math]\displaystyle{ f(\theta) }[/math] — амплитуда рассеяния. Размерность амплитуды рассеяния — длина.

Дифференциальное эффективное поперечное сечение имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{d\sigma}{d\Omega} = |f(\theta)|^2 \;. }[/math]

В низкоэнергетическом режиме амплитуда рассеяния определяется длиной рассеяния.

На расстояниях, значительно превосходящих размеры рассеивателя, при упругом рассеянии волну в среде можно представить в виде суммы плоской волны, налетающей на рассеиватель, и сферической волны:

[math]\displaystyle{ \psi = e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} + \frac{A(\theta, \varphi)}{r} e^{ikr} }[/math],

где [math]\displaystyle{ \mathbf{k} }[/math] — волновой вектор, k — волновое число, [math]\displaystyle{ A(\theta, \varphi) }[/math] — амплитуда рассеяния.

Амплитуда рассеяния полностью характеризует процесс рассеяния и в общем случае зависит от направления, в котором наблюдается рассеянная волна. В отличие от сечения рассеяния (эффективного поперечного сечения) амплитуда рассеяния сохраняет информацию о фазе рассеянной волны.

Амплитуду рассеяния вперёд (без отклонения) связывает с сечением рассеивания оптическая теорема.

Разложение по парциальным волнам

При разложении по парциальным волнам амплитуда рассеяния представляет собой сумму так называемых парциальных волн

[math]\displaystyle{ f(\theta)=\sum_{l=0}^\infty (2l+1) f_l(k) P_l(\cos(\theta)) \;, }[/math]

где [math]\displaystyle{ f_l(k) }[/math] — амплитуда парциальной волны и [math]\displaystyle{ P_l(\cos(\theta)) }[/math] — многочлен Лежандра.

Амплитуда парциальной волны может быть выражена через элемент матрицы рассеяния [math]\displaystyle{ S_l=e^{2i\delta_l} }[/math] и фазу рассеяния [math]\displaystyle{ \delta_l }[/math] как

[math]\displaystyle{ f_l = \frac{S_l-1}{2ik} = \frac{e^{2i\delta_l}-1}{2ik} = \frac{e^{i\delta_l} \sin\delta_l}{k} = \frac{1}{k\operatorname{ctg}\delta_l-ik} \;. }[/math]

Рентгеновское излучение

Длина рассеяния рентгеновского излучения тождественна длине томсоновского рассеяния — классическому радиусу электрона [math]\displaystyle{ r_0 }[/math].

Литература

• Амплитуда рассеяния / В. П. Павлов // А — Ангоб. — М. : Советская энциклопедия, 1969. — С. 539. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 1).
• Ситенко А. Г. Лекции по теории рассеяния. — К. : Вища школа, 1971.