Закон Гука

Видеоурок: закон Гука

Зако́н Гу́ка — утверждение, согласно которому деформация, возникающая в упругом теле (пружине, стержне, консоли, балке и т. д.), пропорциональна приложенной к этому телу силе. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком.

Закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между силой и деформацией становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

Закон Гука для тонкого стержня

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

[math]\displaystyle{ F = k \Delta l. }[/math]

Здесь [math]\displaystyle{ F }[/math] — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, [math]\displaystyle{ \Delta l }[/math] — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а [math]\displaystyle{ k }[/math] — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения [math]\displaystyle{ S }[/math] и длины [math]\displaystyle{ L }[/math]) явно, записав коэффициент упругости как

[math]\displaystyle{ k = \frac{ES} L. }[/math]

Величина [math]\displaystyle{ E }[/math] называется модулем упругости первого рода, или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

[math]\displaystyle{ \varepsilon = \frac{\Delta l} L }[/math]

и нормальное напряжение в поперечном сечении

[math]\displaystyle{ \sigma = \frac F S , }[/math]

то закон Гука для относительных величин запишется как

[math]\displaystyle{ \sigma = E\varepsilon \ . }[/math]

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

[math]\displaystyle{ \Delta l = \frac{FL} {ES}. }[/math]

Закон Гука и измерение силы

Закон Гука лежит в основе измерения сил пружинным механическим динамометром. В этом приборе измеряемая сила передаётся пружине, которая в зависимости от направления силы сжимается или растягивается. Величина упругой деформации пружины пропорциональна силе воздействия и регистрируется.

Принципиальная возможность измерения обеспечивается уже свойством упругости, но без закона Гука упомянутая пропорциональность отсутствовала бы и градуировочная шкала стала бы неравномерной, что неудобно.

Обобщённый закон Гука

В общем случае напряжения и деформации описываются тензорами второго ранга в трёхмерном пространстве (имеют по 9 компонент). Связывающий их тензор упругих постоянных является тензором четвёртого ранга [math]\displaystyle{ C_{ijkl} }[/math] и содержит 81 коэффициент. Вследствие симметрии тензора [math]\displaystyle{ C_{ijkl} }[/math], а также тензоров напряжений и деформаций, независимыми являются только 21 постоянная. Закон Гука выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ \sigma_{ij} = \sum_{kl} C_{ijkl} \cdot \varepsilon_{kl}, }[/math]

где [math]\displaystyle{ \sigma_{ij} }[/math] — тензор напряжений, [math]\displaystyle{ \varepsilon_{kl}, }[/math] — тензор деформаций. Для изотропного материала тензор [math]\displaystyle{ C_{ijkl} }[/math] содержит только два независимых коэффициента.

Благодаря симметрии тензоров напряжения и деформации, закон Гука может быть представлен в матричной форме.

Для линейно упругого изотропного тела:

[math]\displaystyle{ \varepsilon_x=\frac{\sigma_x}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_y-\frac{\mu}{E}\sigma_z }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon_y=\frac{\sigma_y}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_z }[/math]

[math]\displaystyle{ \varepsilon_z=\frac{\sigma_z}{E}-\frac{\mu}{E}\sigma_x-\frac{\mu}{E}\sigma_y }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma_{xy}=\frac{\tau_{xy}}{G} }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma_{yz}=\frac{\tau_{yz}}{G} }[/math]

[math]\displaystyle{ \gamma_{xz}=\frac{\tau_{xz}}{G} }[/math]

где:

• [math]\displaystyle{ E }[/math] — модуль Юнга;
• [math]\displaystyle{ \mu }[/math] — коэффициент Пуассона;
• [math]\displaystyle{ G=\frac{E}{2(1+\mu)} }[/math] — модуль сдвига.

См. также

• Модуль Юнга