Принцип максимума модуля

Формулировка

Если [math]\displaystyle{ f }[/math] голоморфна в некоторой области [math]\displaystyle{ G\subset\mathbb C^n }[/math] и существует точка [math]\displaystyle{ z_0\in G }[/math] такая, что во всей области [math]\displaystyle{ G }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ |f(z_0)|\geqslant |f(z)| }[/math], то [math]\displaystyle{ f(z)\equiv\mathrm{const} }[/math].

Другими словами, модуль аналитической функции, отличной от константы, не может иметь локальных максимумов внутри области [math]\displaystyle{ G }[/math].

Следствия

Принцип минимума модуля. Если [math]\displaystyle{ f }[/math] аналитична в некоторой области [math]\displaystyle{ G\subset\Complex^n }[/math], не обращается там в нуль, и существует точка [math]\displaystyle{ z_0\in G }[/math] такая, что во всей области [math]\displaystyle{ G }[/math] выполняется неравенство [math]\displaystyle{ |f(z_0)|\leqslant|f(z)| }[/math], то [math]\displaystyle{ f(z)\equiv\mathrm{const} }[/math]. (То есть локальные минимумы модуля аналитической функции, отличной от константы, могут достигаться только в тех точках, где она обращается в ноль.)
Принцип максимума вещественной и мнимой части. Если для аналитической функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] в точке [math]\displaystyle{ z_0\in G }[/math] достигается локальный максимум (минимум) у её вещественной (или мнимой) части, тогда функция [math]\displaystyle{ f(z) }[/math] есть константа.

(Здесь используется обычный принцип максимума модуля для функций [math]\displaystyle{ e^{f(z)} }[/math] и [math]\displaystyle{ e^{if(z)} }[/math], а также равенство [math]\displaystyle{ \left|e^{f(z)}\right|=e^{\mathrm{Re}\,f(z)} }[/math].)

Пусть [math]\displaystyle{ K\subset\mathbb C^n }[/math] — компактное подмножество. Для всякой функции [math]\displaystyle{ f }[/math], непрерывной на [math]\displaystyle{ K }[/math] и аналитичной внутри [math]\displaystyle{ K }[/math], выполнено равенство:

[math]\displaystyle{ \|f\|_K=\|f\|_{\partial K}. }[/math]

Если последовательность таких функций равномерно сходится на границе компакта [math]\displaystyle{ K }[/math], тогда она сходится равномерно на всём [math]\displaystyle{ K }[/math].