Тригонометрическая сумма

Пример: тригонометрическая сумма над квадратичными вычетами по модулю [math]\displaystyle{ m=11 }[/math]. Разнонаправленность векторов (изгиб пути из разноцветных линий) делает абсолютное значение суммы (длину жёлтой линии) меньше числа слагаемых. Это общий момент для тригонометрических сумм в целом, а модуль таких сумм при растущем [math]\displaystyle{ m }[/math] и вовсе имеет порядок [math]\displaystyle{ \sqrt{m} }[/math].

Тригонометрическая сумма — это конечная сумма комплексных чисел, геометрически соответствующих векторам на единичной окружности, то есть вида [math]\displaystyle{ e(\varphi) := \cos \varphi + i \sin \varphi\ . }[/math]

Такие суммы по значениями [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], образованным из множества чисел или элементов группы, изучаются в аналитической теории чисел. Верхние оценки на них позволяют оценивать число решений уравнений с переменными из рассматриваемых множеств.

Геометрические свойства синусов и косинусов из определения [math]\displaystyle{ e(\varphi) }[/math] не играют в методе ключевой роли. Формула Эйлера

[math]\displaystyle{ e(\varphi) = e^{2 \pi \varphi i} }[/math]

позволяет интерпретировать слагаемые как степени друг друга и использовать для оценки сумм свойства возведения в степень и геометрических прогрессий.

Когда [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] рационально, слагаемое является корнем из единицы. В современной литературе принято обозначение

[math]\displaystyle{ e_q(a) := e \left( \frac{a}{q} \right) = e^{2 \pi \frac{a}{q} i}\ . }[/math]

Суммы с такими слагаемыми используются для изучения множеств значений по модулю [math]\displaystyle{ q }[/math]. Они наиболее популярны.

Метод тригонометрических сумм — один из самых мощных и развивающихся в современной теории чисел. Лишь некоторые виды сумм изучены достаточно хорошо, чтобы результаты о них можно было классифицировать, а уровень знаний считать устоявшимся. Для приложений в теории чисел бывает достаточно очень слабых, но нетривиальных оценок той или иной тригонометрической суммы. Часто такие оценки изучаются и просто сами по себе, ввиду общепризнанной важности развития методов их изучения.

Основные свойства

Через тригонометрические суммы можно выражать утверждения о равенстве нулю:

• для любых [math]\displaystyle{ m \in {\mathbb N},\ a \in {\mathbb Z} }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \sum \limits_{x=0}^{m-1} {e_m(a x)} = \begin{cases} m, & a \equiv 0 \pmod m \\ 0, & a \not \equiv 0 \pmod m \end{cases} }[/math];

• аналогично, для любого [math]\displaystyle{ n \in {\mathbb Z} }[/math] верно, что [math]\displaystyle{ \int \limits_{0}^{1} {e(\alpha n) d \alpha} = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \not = 0 \end{cases} }[/math].

Используя общую структуру абелевых групп, можно получить аналогичные выражения для любой такой группы вместо [math]\displaystyle{ {{\mathbb Z}}_m }[/math] и [math]\displaystyle{ {{\mathbb Z}} }[/math].

При выводе оценок часто используют соображения о том, что:

• произведение и сопряжение (а значит, и чётные степени модулей) тригонометрических сумм также будет тригонометрической суммой — перемножая суммы, по-разному группируя слагаемые и применяя неравенство Гёльдера, можно переходить от одного множества или уравнения к другим, решая ту же задачу;

• для любых [math]\displaystyle{ \varphi_1, \dots, \varphi_n }[/math] верна тривиальная оценка [math]\displaystyle{ \Bigg\vert { \sum \limits_{i=1}^{n} e(\varphi_i) } \Bigg\vert \le n }[/math].

Приложения

Число решений уравнений

Выражение

Для множеств [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_k }[/math] и функции [math]\displaystyle{ f : A_1 \times \dots \times A_k \to {\mathbb Z}_m }[/math] число решений уравнения

[math]\displaystyle{ f(x_1, \dots, x_k) \equiv 0 \pmod m,\ x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k }[/math]

можно выразить через тригонометрическую сумму как сумму скобок Айверсона:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k} {[f(x_1, \dots, x_k) \equiv 0 \pmod m]} = \frac{1}{m} \sum \limits_{x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k} \sum \limits_{t=0}^{m-1} {e_m(t f(x_1, \dots, x_k))}\ . }[/math]

Аналогично, для целочисленной [math]\displaystyle{ f }[/math] и решений [math]\displaystyle{ f(x_1, \dots, x_k) = 0 }[/math] допустимо представление

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k} {[f(x_1, \dots, x_k) = 0]} = \sum \limits_{x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k} \int \limits_{0}^{1} e(\alpha f(x_1, \dots, x_k)) d \alpha\ . }[/math]

Эти конструкции легко обобщить на системы уравнений.

В качестве уравнения может выступать в том числе формула представления числа в виде суммы — типичный объект изучения аддитивной теории чисел.

Использование

Тригонометрические выражения наиболее полезны когда функция [math]\displaystyle{ f }[/math] хорошо разлагается на слагаемые. Например, если

[math]\displaystyle{ f(x_1, \dots, x_k) = f_1(x_1) + \dots + f_k(x_k)\ , }[/math]

то, меняя порядок суммирования, можно получить выражение

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{x_1 \in A_1, \dots, x_k \in A_k} \sum \limits_{t=0}^{m-1} {e_m(t (f_1(x_1) + \dots f_k(x_k)))} = \sum \limits_{t=0}^{m-1} \prod \limits_{i=1}^{k} \left( \sum \limits_{x_i \in A_i} {e_m(t f_i(x_i))} \right) \le \sum \limits_{t=0}^{m-1} \prod \limits_{i=1}^{k} \Bigg\vert \sum \limits_{x_i \in A_i} {e_m(t f_i(x_i))} \Bigg\vert \ . }[/math]

Суммы [math]\displaystyle{ \sum \limits_{x_i \in A_i} {e_m(t f_i(x_i))} }[/math] по отдельности друг от друга не имеют комбинаторной интерпретации, но могут быть оценены аналитически. Именно это делает метод тригонометрических сумм нетривиальным.

При [math]\displaystyle{ t=0 }[/math] все слагаемые вырождаются в [math]\displaystyle{ e(0)=1 }[/math], так что эта часть суммы всегда равна [math]\displaystyle{ |A_1| \dots |A_k| }[/math] и называется главным членом. Поэтому оценки числа решений через тригонометрические суммы чаще всего не могут быть лучше чем [math]\displaystyle{ \frac{|A_1| \dots |A_k|}{m} }[/math]. В частности, именно такая величина нужна в доказательстве равномерного распределения. При работе с интегралами роль главного члена среди интервала [math]\displaystyle{ [0;1] }[/math] выполняют окрестности несократимых дробей с малыми знаменателями.

Нюансы

О связи уравнений и тригонометрических сумм следует отметить два нюанса. Во-первых, иногда бывает удобно переходить не от уравнения к суммам, а наоборот в ходе оценке суммы после её преобразований переходить к анализу простого или известного уравнения. Во-вторых, чисто комбинаторные преобразования уравнений можно выражать на языке тригонометрических сумм. Поэтому в литературе, посвящённой тригонометрическим суммам, часто эти преобразования так и излагают, без упоминания о том, что то же самое можно сделать элементарно. Тем не менее, существует много случаев, когда прямое элементарное переложение невозможно.

Равномерное распределение

Если функцию, так или иначе связанную с умножением, применить к интервалу, то тригонометрическая сумма над получившимся множеством, как правило, будет иметь порядок [math]\displaystyle{ \sqrt{n} }[/math], где [math]\displaystyle{ n }[/math] — длина интервала (число слагаемых). Этот эффект известен как «square-root barier» и свидетельствует о равномерном распределении множества с очень малым остаточным членом (порядка [math]\displaystyle{ \sqrt{n} \log p }[/math]).
На графике [math]\displaystyle{ g }[/math] — первообразный корень, [math]\displaystyle{ {\rm ind} }[/math] — дискретный логарифм. Для других больших интервалов вместо [math]\displaystyle{ [1;p/5] }[/math] результаты будут похожими.

Для любого интервала [math]\displaystyle{ I=\{ M,M+1,\dots,N-1,N \} }[/math] в кольце вычетов [math]\displaystyle{ {\mathbb Z}_m }[/math] можно оценить связанную с ним тригонометрическую сумму

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{a=1}^{m} { \Bigg\vert { \sum \limits_{x \in I} {e_m(ax)} } \Bigg\vert } \le m \ln m }[/math]

Благодаря этому оценку тригонометрических сумм над множеством в [math]\displaystyle{ {\mathbb Z}_m }[/math] можно преобразовывать в утверждение о его равномерном распределении в [math]\displaystyle{ {\mathbb Z}_m }[/math]:

Если для множества [math]\displaystyle{ A \subset {\mathbb Z}_m }[/math] и любого [math]\displaystyle{ t \in {\mathbb Z}_m \setminus \{ 0 \} }[/math] верна оценка [math]\displaystyle{ \Bigg\vert { \sum \limits_{a \in A} {e_m(ta)} } \Bigg\vert = o \left( { \frac{|A|}{\log m} } \right) }[/math], то для любых [math]\displaystyle{ 0 \le \delta_1 \lt \delta_2 \le 1 }[/math] можно показать, что [math]\displaystyle{ |A \cap [\delta_1 m ; \delta_2 m]| = (\delta_2 - \delta_1 + o(1)) |A| }[/math]

Чаще всего подобные результаты удобно получать для простого [math]\displaystyle{ m }[/math]. Известны оценки таких сумм для квадратичных вычетов, других степеней, индексов (дискретных логарифмов) чисел из интервала, обратных элементов для интервала и даже для произвольной мультипликативной подгруппы размера [math]\displaystyle{ p^{\varepsilon} }[/math] (для любого фиксированного [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]). Похожий метод применим для доказательства равномерного распределения вещественных последовательностей в интервале [math]\displaystyle{ (0;1) }[/math].

По аналогии с этим, суммы мультипликативных характеров можно воспринимать как показатель равномерности относительно структуры мультипликативной группы [math]\displaystyle{ {\mathbb F}_p }[/math]. Такие суммы хорошо изучены для интервалов, множества значений многочленов и сдвигов простых чисел.

История

Первое использование тригонометрических сумм относят к исследованию Гаусса о квадратичном законе взаимности (1795 г.). Он оценивал суммы с квадратичными вычетами, то есть вида [math]\displaystyle{ \sum \limits_{x=1}^{p} {e_p(a x^2)},\ a \in {\mathbb Z}_p }[/math]. Вскоре Дирихле применил суммы характеров с коэффициентами к изучению распределения простых чисел в арифметических прогрессиях.

В конце XIX — начале XX века тригонометрических суммы стали использовать для исследования распределения последовательностей.

Значимым событием стало применение тригонометрических сумм к решению проблемы Варинга двумя способами: круговым методом Харди-Литтлвуда и переосмыслившим его методом И. М. Виноградова. Виноградов впоследствии развил свой метод для получения результатов о простых числах, в том числе решения тернарной проблемы Гольдбаха для достаточно больших чисел и аналога проблемы Варинга для простых чисел.

Клаус Рот и позже Уильям Тимоти Гауэрс применили технику кругового метода для доказательства теоремы Семереди. Впоследствии тригонометрические суммы были использованы во многих задачах аддитивной комбинаторики.

Суммы с собственными названиями

• суммы Рамануджана для [math]\displaystyle{ a \in {\mathbb Z}_q,\ (a,q)=1 }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{1 \le x \le q \atop (x, q) = 1} {e_q(ax)} }[/math]

• суммы Гаусса [math]\displaystyle{ a \in {\mathbb Z}_q }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{x=1}^{q} {e_q(a x^2)} }[/math]

• суммы Вейля для многочлена [math]\displaystyle{ f }[/math] с вещественными (не целыми) коэффициентами и интервала [math]\displaystyle{ [a;b] }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{a \le n \le b} {e(f(n))} }[/math]

• суммы Клоостермана, связанные с обратными элементами [math]\displaystyle{ x^{-1} }[/math], где [math]\displaystyle{ x \in {\mathbb Z}_p,\ x x^{-1} \equiv 1 \pmod p }[/math]. Например, для [math]\displaystyle{ a, b \in {\mathbb Z}_q }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{1 \le x \le q \atop (x, q) = 1} {e(a x + b x^{-1})} }[/math]

• дискретное преобразование Фурье для индикаторной функции множества [math]\displaystyle{ A \subset {\mathbb Z}_m,\ t \in {\mathbb Z}_m }[/math]:

[math]\displaystyle{ \widehat{A}(t) = \sum \limits_{a \in A} {e_m(at)} }[/math]

• мультилинейные суммы для множеств [math]\displaystyle{ A_1, \dots, A_k \subset {\mathbb Z}_m }[/math]:

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{a_1 \in A_1} \dots \sum \limits_{a_k \in A_k} {e_m(a_1 \dots a_k)} }[/math]

• суммы мультипликативных характеров по множеству [math]\displaystyle{ A \subset {\mathbb F}_p^{*} }[/math] (функция [math]\displaystyle{ {\rm ind} }[/math] означает дискретный логарифм, а параметр [math]\displaystyle{ t \in {\mathbb Z}_p }[/math] соответствует выбранному характеру):

[math]\displaystyle{ \sum \limits_{a \in A} {e_p(t \cdot {\rm ind}(a))}\ , }[/math]

Обобщения

При изучении некоммутативных групп характеры представлений можно использовать для определения аналогов коэффициентов Фурье.

Литература

• И. М. Виноградов. Метод тригонометрических сумм в теории чисел. — М.: Наука, 1971. — 158 с. — 7500 экз.

• К. Чандрасекхаран. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Мир, 1974. — 185 с.

• А, А. Карацуба. Основы аналитической теории чисел. — М.: Наука, 1983. — 240 с.

• Б. И. Сегал. Тригонометрические суммы и некоторые их применения к теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 1946. — Т. 1, вып. 3–4. — С. 147–193.

• А. А. Карацуба. Арифметические проблемы теории характеров Дирихле (рус.) // Успехи математических наук. — 2008. — Т. 63, вып. 4. — С. 43–92.

• М. А. Королёв. Методы оценок коротких сумм Клоостермана (рус.) // Чебышёвский сборник. — 2016. — Т. 17, вып. 4. — С. 79–109.

• М. З. Гараев. Суммы и произведения множеств и оценки рациональных тригонометрических сумм в полях простого порядка, (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Т. 65, вып. 4 (394). — С. 5—66. — doi:10.4213/rm9367.

• И. Д. Шкредов. Анализ Фурье в комбинаторной теории чисел (рус.) // Успехи математических наук. — 2010. — Вып. 3. — С. 127—184.

• W. T. Gowers. A new proof of Szemerédi's theorem (англ.) // Geometric & Functional Analysis GAFA. — 2001. — Vol. 11. — P. 465–588. — doi:10.1007/s00039-001-0332-9.

• И. Д. Шкредов. О двумерном аналоге теоремы Семереди в абелевых группах (рус.) // Известия Российской академии наук. Серия математическая. — 2009. — Т. 73, вып. 5. — С. 181–224.

• J. Bourgain. Multilinear Exponential Sums in Prime Fields Under Optimal Entropy Condition on the Sources (англ.) // Geometric and Functional Analysis. — 2009. — Vol. 18. — P. 1477–1502. — doi:10.1007/s00039-008-0691-6.

• N. G. Moshchevitin, I. D. Shkredov. On a modular form of Zaremba's conjecture (англ.). — 2019. — arXiv:1911.07487.