Аналитическая теория чисел

Дзета-функция Римана ζ(s) на комплексной плоскости. Цвет точки s зависит от значения ζ(s): цвета близкие к черному соответствуют значениям близким к нулю, а тон зависит от аргумент значения.

Аналитическая теория чисел — раздел теории чисел, в котором свойства целых чисел исследуются методами математического анализа. Наиболее известные результаты относятся к исследованию распределения простых чисел и аддитивным проблемам Гольдбаха и Варинга.

Первым шагом в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида

[math]\displaystyle{ a_1 x_1+...+a_n x_n=N, }[/math]

где [math]\displaystyle{ a_1,...,a_n }[/math] — натуральные числа, Эйлер построил производящую функцию, которая определяется как произведение сходящихся рядов (при [math]\displaystyle{ |z|\lt 1 }[/math])

[math]\displaystyle{ F_i(z)=\sum^\infty_{k=0}{(z^{a_i})^k} }[/math]

и является суммой членов геометрической прогрессии, при этом

[math]\displaystyle{ F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N, }[/math]

где [math]\displaystyle{ l(N) }[/math] — число решений изучаемого уравнения.

В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида

[math]\displaystyle{ S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p}, }[/math]

которые положили начало использованию тригонометрических сумм. Основы методов применения тригонометрических сумм к анализу уравнений в целых и простых числах были разработаны Харди, Литтлвудом и Виноградовым.

Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел, Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:

[math]\displaystyle{ \Pi_p \left ( 1-\frac{1}{p^s} \right ) ^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{1}{n^s} }[/math],

которое стало основанием для теорий дзета-функций. Наиболее известной и до сих пор не решённой проблемой аналитической теории чисел является доказательство гипотезы Римана о нулях дзета-функции, утверждающей, что все нетривиальные корни уравнения [math]\displaystyle{ \zeta(s) = 0 }[/math] лежат на так называемой критической прямой [math]\displaystyle{ \mathrm{Re}\,s = \frac{1}{2} }[/math], где [math]\displaystyle{ \zeta }[/math] — дзета-функция Римана.

Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что

[math]\displaystyle{ \Pi_p \left (1-\frac{\chi (p)}{p^s} \right )^{-1}=\sum^\infty_{n=1} \frac{\chi (n)}{n^s} }[/math],

при этом функция [math]\displaystyle{ \chi(p) }[/math], получившая название характер Дирихле, определена так, что удовлетворяет следующим условиям: она является периодической, вполне мультипликативной и не равна тождественно нулю. Характеры и ряды Дирихле нашли применение и в других разделах математики, в частности в алгебре, топологии и теории функций.

Чебышёв показал, что число простых чисел, не превосходящих [math]\displaystyle{ X }[/math], обозначенное как [math]\displaystyle{ \pi (X) }[/math], стремится к бесконечности по следующему закону:

[math]\displaystyle{ a \frac{X}{\ln(X)} \lt \pi(X) \lt b \frac{X}{\ln(X)} }[/math], где [math]\displaystyle{ a\gt 1/2 \ln 2 }[/math] и [math]\displaystyle{ b\lt 2 \ln 2 }[/math].

Другим направлением аналитической теории чисел является применение комплексного анализа в доказательстве теоремы о распределении простых чисел.

См. также

• Теория чисел

Литература

• Davenport, Harold (2000), Multiplicative number theory, vol. 74 (3rd revised ed.), Graduate Texts in Mathematics, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95097-6 
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory, vol. 46, Cambridge studies in advanced mathematics, Cambridge University Press, ISBN 0-521-41261-7 
• Б.М. Широков, Петрозаводский государственный университет им. О. В. Куусинена. Аналитическая теория чисел. — Петрозаводский гос. университет им. О.В. Куусинена, 1986. — 93 с.
• А. Б. Венков, Леон Арменович Тахтаджян. Аналитическая теория чисел и теория функций. — Наука, 1979. — Т. 2. — 224 с.