Суммы Вейля

Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.

Определение

Суммами Вейля называются суммы вида

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{a\lt n\leqslant b}e^{2\pi i f(n)} }[/math],

где [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math], а функция

[math]\displaystyle{ f(x) = \alpha_k x^k + \alpha_{k-1}x^{k-1} + \ldots + \alpha_1 x + \alpha_0\in \mathbb{R}[x] }[/math]

есть многочлен степени [math]\displaystyle{ k }[/math] с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.

Рациональные суммы Вейля

Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю [math]\displaystyle{ m }[/math]) называются суммы Вейля с функцией [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{P_k(x)}{m} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{a\lt n\leqslant b}e^{2\pi i\frac{P_k(n)}{m}} }[/math],

где [math]\displaystyle{ m\gt 1 }[/math] — некоторое фиксированное целое число, [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math], а

[math]\displaystyle{ P_k(x) = a_k x^k + a_{k-1}x^{k-1} + \ldots + a_1 x + a_0\in \mathbb{Z}[x] }[/math]

есть многочлен степени [math]\displaystyle{ k }[/math] с целыми коэффициентами.

Примеры рациональных сумм Вейля

• Если [math]\displaystyle{ f(x)=ax }[/math], то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
• Если [math]\displaystyle{ m=p }[/math] — простое число, то суммы Вейля с многочленом [math]\displaystyle{ f(x)=ax^k }[/math] [math]\displaystyle{ (k\gt 1) }[/math] называются суммами Гаусса порядка [math]\displaystyle{ k }[/math], а при [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] — суммами Гаусса.
• Если [math]\displaystyle{ m=p }[/math] — простое число, то для каждого [math]\displaystyle{ n }[/math], не кратного [math]\displaystyle{ p }[/math], в поле вычетов [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] всегда существует число [math]\displaystyle{ n^* }[/math], обратное к [math]\displaystyle{ n }[/math]:

[math]\displaystyle{ n^*n\equiv 1 \mod p }[/math], и при этом [math]\displaystyle{ n^*\equiv n^{p-2} \mod p }[/math].

Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом [math]\displaystyle{ P_{p-1}(n) = an^{p-1}+bn }[/math] могут быть записаны в виде

[math]\displaystyle{ \displaystyle{\sum_{a\lt n\leqslant b}}'e^{2\pi i\frac{an^*+bn}{p}} }[/math],

(штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем [math]\displaystyle{ n }[/math], не кратным [math]\displaystyle{ p }[/math]) и называются суммами Клостермана.

Оценки сумм Вейля

Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.

См. также

• Теорема Вейля о равномерном распределении

Литература

• Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
• И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.