Суммы Вейля
Суммы Вейля — общее название тригонометрических сумм специального вида.
Определение
Суммами Вейля называются суммы вида
где [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math], а функция
есть многочлен степени [math]\displaystyle{ k }[/math] с вещественными коэффициентами. Название "суммы Вейля" для тригонометрических сумм такого вида было предложено И.М. Виноградовым в честь впервые подробно рассмотревших их Г. Вейля.
Рациональные суммы Вейля
Важным примером сумм Вейля являются рациональные суммы Вейля, когда все коэффициенты многочлена [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] — рациональные числа. Более точно, рациональными суммами Вейля (по модулю [math]\displaystyle{ m }[/math]) называются суммы Вейля с функцией [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{P_k(x)}{m} }[/math]:
где [math]\displaystyle{ m\gt 1 }[/math] — некоторое фиксированное целое число, [math]\displaystyle{ n\in\mathbb{Z} }[/math], а
есть многочлен степени [math]\displaystyle{ k }[/math] с целыми коэффициентами.
Примеры рациональных сумм Вейля
- Если [math]\displaystyle{ f(x)=ax }[/math], то указанная сумма является линейной тригонометрической суммой.
- Если [math]\displaystyle{ m=p }[/math] — простое число, то суммы Вейля с многочленом [math]\displaystyle{ f(x)=ax^k }[/math] [math]\displaystyle{ (k\gt 1) }[/math] называются суммами Гаусса порядка [math]\displaystyle{ k }[/math], а при [math]\displaystyle{ k=2 }[/math] — суммами Гаусса.
- Если [math]\displaystyle{ m=p }[/math] — простое число, то для каждого [math]\displaystyle{ n }[/math], не кратного [math]\displaystyle{ p }[/math], в поле вычетов [math]\displaystyle{ \mathbb{Z}_p }[/math] всегда существует число [math]\displaystyle{ n^* }[/math], обратное к [math]\displaystyle{ n }[/math]:
- Таким образом, рациональные суммы Вейля с многочленом [math]\displaystyle{ P_{p-1}(n) = an^{p-1}+bn }[/math] могут быть записаны в виде
- (штрих у знака суммы означает, что суммирование ведется по всем [math]\displaystyle{ n }[/math], не кратным [math]\displaystyle{ p }[/math]) и называются суммами Клостермана.
Оценки сумм Вейля
Оценки сумм Вейля играют важную роль в многих задачах аналитической теории чисел. Существует несколько методов оценки сумм Вейля. Наиболее простой и известный из них — метод Гаусса.
См. также
Литература
- Г.И. Архипов, А.А. Карацуба, В.Н. Чубариков. Теория кратных тригонометрических сумм. М.: Наука, 1987.
- И.М. Виноградов. Избранные труды. М., 1952.