Аддитивная теория чисел
Аддити́вная тео́рия чи́сел — раздел теории чисел, возникший при изучении задач о разложении целых чисел на слагаемые заданного вида[1] (например, на простые числа. фигурные числа, [math]\displaystyle{ n- }[/math]е степени и т. п.).
Среди классических проблем, исследование которых заложило фундамент аддитивной теории чисел, можно назвать следующие[1].
- Задача о представлении числа суммой четырёх квадратов и её обобщение: теорема Ферма о многоугольных числах.
- Задача о представлении простого числа в виде суммы двух квадратов.
- Проблема Гольдбаха.
- Проблема Варинга.
- Гипотезы Поллока.
Решение этих проблем осложняется тем, что в формулировках одновременно участвуют несколько базовых операций с натуральными числами:
- (мультипликативные) — деление, с помощью которого определяются простые числа, и умножение, формирующее квадраты, кубы и т. д.;
- (аддитивные) — сложение.
Связь между аддитивными и мультипликативными свойствами чисел чрезвычайно сложна, и эта сложность ответственна за трудности при решении многих проблем теории чисел[2].
Современная аддитивная теория чисел включает широкий круг задач по исследованию абелевых групп и коммутативных полугрупп с операцией сложения[3]. Аддитивная теория чисел тесно связана с комбинаторной теорией чисел (особенно с аддитивной комбинаторикой)[4] и с геометрией чисел, в ней применяются аналитические, алгебраические и вероятностные методы. В зависимости от методов решения, аддитивные задачи входят составной частью в другие разделы теории чисел — аналитическую теорию чисел, теорию алгебраических чисел, вероятностную теорию чисел[англ.][1].
История
Первые систематические результаты в аддитивной теории чисел были получены Леонардом Эйлером, который опубликовал в 1748 году исследование (с помощью степенных рядов) разложения натуральных чисел на натуральные слагаемые; в частности, им была рассмотрена задача о разложении числа на заданное количество слагаемых и доказана теорема о пятиугольных числах[англ.][5]. В этот же период возникли две классические проблемы аддитивного типа: проблема Гольдбаха и проблема Варинга, в дальнейшем появились десятки новых задач.
Для решения многих из этих проблем оказались полезны такие общие инструменты, как круговой метод Харди-Литтлвуда[англ.], метод решета[англ.][6] и метод тригонометрических сумм. Гильберт доказал[7], что для любого целого числа [math]\displaystyle{ k\gt 1 }[/math] любое натуральное число является суммой ограниченного числа слагаемых в степени [math]\displaystyle{ k }[/math]. Лев Шнирельман в 1930 году ввёл понятие плотности последовательности натуральных чисел, что позволило существенно продвинуться в решении проблемы Гольдбаха и доказать обобщённую теорему Варинга[8]..
Григорий Фрейман в 1964 году доказал важную теорему[англ.] из области аддитивной комбинаторики.
Современное состояние
Подмножество [math]\displaystyle{ B }[/math] называется (асимптотическим) аддитивным базисом[англ.][9] конечного порядка [math]\displaystyle{ h }[/math], если любое достаточно большое натуральное число [math]\displaystyle{ n }[/math] может быть записано как сумма не более [math]\displaystyle{ h }[/math] элементов [math]\displaystyle{ B }[/math]. Например, натуральные числа сами являются аддитивным базисом порядка 1, поскольку каждое натуральное число тривиально является суммой не более одного натурального числа. Менее тривиальна теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов, показавшая, что множество квадратных чисел является аддитивным базисом четвёртого порядка. Другой весьма нетривиальный и широко известный результат в этом направлении — теорема Виноградова о том, что любое достаточно большое нечётное натуральное число можно представить как сумму трёх простых чисел[10].
Многие современные исследования в этой области касаются свойств общих асимптотических базисов конечного порядка. Например, множество [math]\displaystyle{ A }[/math] называется минимальным асимптотическим базисом порядка [math]\displaystyle{ h, }[/math] если [math]\displaystyle{ A }[/math] является асимптотическим базисом порядка [math]\displaystyle{ h }[/math], но никакое собственное подмножество [math]\displaystyle{ A }[/math] не является асимптотическим базисом порядка [math]\displaystyle{ h }[/math]. Доказано[11], что минимальные асимптотические базисы порядка [math]\displaystyle{ h }[/math] существуют для всякого [math]\displaystyle{ h }[/math], а также существуют асимптотические базисы порядка [math]\displaystyle{ h }[/math], не содержащие минимальных асимптотических базисов порядка [math]\displaystyle{ h }[/math].
Рассматривается также проблема — насколько можно уменьшить количество представлений [math]\displaystyle{ n }[/math] в виде суммы [math]\displaystyle{ h }[/math] элементов асимптотического базиса. Этому посвящена до сих пор не доказанная гипотеза Эрдёша — Турана[англ.] (1941 год)[12].
См. также
Примечания
- ↑ 1,0 1,1 1,2 Математическая энциклопедия, 1977, с. 91.
- ↑ Математика, её содержание, методы и значение (в трёх томах). — 1956. — Т. 2. — С. 225. — 397 с.
- ↑ Mann, 1976.
- ↑ Tao, 2006.
- ↑ On Euler's Pentagonal Theorem Архивная копия от 31 января 2020 на Wayback Machine at MathPages.
- ↑ Математическая энциклопедия, 1984, с. 979.
- ↑ Карацуба А. А. Проблема Гильберта — Камке в аналитической теории чисел. Дата обращения: 1 декабря 2020.
- ↑ Математика в СССР за тридцать лет. 1917—1947 / Под ред. А. Г. Куроша, А. И. Маркушевича, П. К. Рашевского. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — С. 56—57. — 1044 с.
- ↑ Bell, Jason; Hare, Kathryn & Shallit, Jeffrey (2018), When is an automatic set an additive basis?, Proceedings of the American Mathematical Society, Series B Т. 5: 50—63, DOI 10.1090/bproc/37
- ↑ Карацуба А. А. Эйлер и теория чисел // Современные проблемы математики. Вып. 11. — М.: МИАН, 2008. — С. 19—37. — 72 с. — ISBN 5-98419-027-3.
- ↑ Nathanson M. B. Minimal bases and maximal nonbases in additive number theory // J. Number Theory. — 1974. — Vol. 6, no. 4. — P. 324—333.
- ↑ Grekos G., Haddad L., Helou C., Pihko J. On the Erdős–Turán conjecture // J. Number Theory. — 2003. — Vol. 102, no. 2. — P. 339—352.
Литература
- Аддитивная теория чисел // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
- Бухштаб А. А. Проблемы аддитивной теории простых чисел // Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
- Гельфанд А. О., Линник Ю. В. Аддитивные свойства чисел // Элементарные методы в аналитической теории чисел. — М.: Физматгиз, 1962. — 272 с.
- Метод решета // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 4.
- Постников А. Г. Введение в аналитическую теорию чисел. — М.: Наука, 1971. — 416 с.
- Шнирельман Л. Г. Об аддитивных свойствах чисел // Успехи математических наук. — 1939. — № 6. — С. 9—25.
- Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory. — Corrected reprint of 1965 Wiley. — Huntington, New York : Robert E. Krieger Publishing Company, 1976. — ISBN 0-88275-418-1.
- Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94656-X.
- Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. — Springer-Verlag, 1996. — ISBN 0-387-94655-1.
- Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. — Cambridge University Press, 2006. — Vol. 105.
Ссылки
- Бредихин Б. М. Additive number theory, Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Weisstein, Eric W. Additive Number Theory (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.