Индикатор (математика)
Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция, или функция принадлежности подмножества [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] — это функция, определённая на множестве [math]\displaystyle{ X }[/math], которая указывает на принадлежность элемента [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] подмножеству [math]\displaystyle{ A }[/math].
Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».
Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.
Определение
Пусть [math]\displaystyle{ A\subseteq X }[/math] — выбранное подмножество произвольного множества [math]\displaystyle{ X }[/math]. Функция [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A:X\to\{0,1\} }[/math], определённая следующим образом:
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A(x) = \left\{\begin{matrix} 1, &x \in A, \\ 0, &x \notin A, \end{matrix}\right. }[/math]
называется индикатором множества [math]\displaystyle{ A }[/math].
Альтернативными обозначениями индикатора множества [math]\displaystyle{ A }[/math] являются: [math]\displaystyle{ \chi_A }[/math] или [math]\displaystyle{ \mathbf{I}_A }[/math], а иногда даже [math]\displaystyle{ A(x) }[/math] а также скобка Айверсона [math]\displaystyle{ [x \in A] }[/math].
(Греческая буква [math]\displaystyle{ \chi }[/math] происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)
Предупреждение. Обозначение [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A }[/math] может означать функцию идентичности.
Основные свойства
Отображение, которое связывает подмножество [math]\displaystyle{ A \subseteq X }[/math] с его индикатором [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A }[/math] инъективно. Если [math]\displaystyle{ A }[/math] и [math]\displaystyle{ B }[/math] — два подмножества [math]\displaystyle{ X \ }[/math], то
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B, }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}), }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A. }[/math]
Более обобщённо, предположим [math]\displaystyle{ A_1,\ldots, A_n }[/math] — это набор подмножеств [math]\displaystyle{ X }[/math]. Ясно, что для любого [math]\displaystyle{ x \in X }[/math]
- [math]\displaystyle{ \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x)) }[/math]
— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех [math]\displaystyle{ x \in X }[/math], которые не принадлежат ни одному множеству [math]\displaystyle{ A_k }[/math] и 0 иначе. Поэтому
- [math]\displaystyle{ \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}. }[/math]
Разворачивая левую часть, получаем
- [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k}, }[/math]
где [math]\displaystyle{ |F| }[/math] — мощность [math]\displaystyle{ F }[/math]. Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если [math]\displaystyle{ X }[/math] — вероятностное пространство с вероятностной мерой [math]\displaystyle{ \mathbf{P} }[/math], а [math]\displaystyle{ A }[/math] — измеримое множество, то индикатор [math]\displaystyle{ \mathbf{1}_A }[/math] становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности [math]\displaystyle{ A: }[/math]
- [math]\displaystyle{ E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad }[/math]
Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.
Библиография
- Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp. 94–99.