Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии

Теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии гласит, что каждая бесконечная арифметическая прогрессия, первый член и разность которой — натуральные взаимно простые числа, содержит бесконечное число простых чисел.

Дирихле доказал, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах l и k справедливо следующее:

Пусть [math]\displaystyle{ l,k\gt 0 }[/math] — целые числа, и [math]\displaystyle{ (l,k)=1 }[/math]. Тогда существует бесконечно много простых чисел [math]\displaystyle{ p }[/math] таких, что [math]\displaystyle{ p \equiv l \pmod k }[/math].

История доказательств

Теорема в данной формулировке была доказана Дирихле аналитическими средствами в 1837 году. В дальнейшем были найдены доказательство теоремы элементарными методами. Различные такие доказательства представили Мертенс, Сельберг и Цассенхаус.

Вариации

При рассмотрении простых [math]\displaystyle{ p \equiv l \pmod k }[/math] довольно часто оказывается, что их множество обладает многими свойствами, присущими множеству всех простых чисел. Существует немало теорем и гипотез, рассматривающих только простые числа из определённого класса вычетов или соотношения множеств простых чисел из разных классов вычетов.

Например, кроме основного утверждения теоремы, Дирихле доказал в 1839 году, что при любых фиксированных натуральных взаимно простых числах [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math]:

[math]\displaystyle{ \lim_{s\to 1+}\frac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=\frac{1}{\varphi(k)}, }[/math]

где суммирование ведётся по всем простым числам [math]\displaystyle{ p }[/math] с условием [math]\displaystyle{ p\equiv l \pmod k }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — функция Эйлера.

Это соотношение можно интерпретировать как закон равномерного распределения простых чисел по классам вычетов [math]\displaystyle{ \mod k }[/math], поскольку

[math]\displaystyle{ \lim_{s\to 1+}\dfrac{\sum\limits_p\dfrac{1}{p^s}}{\ln\dfrac{1}{s-1}}=1, }[/math]

если суммирование ведётся по всем простым числам.

Известно, что для любых взаимно простых чисел [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ k }[/math] ряд [math]\displaystyle{ \sum \limits_{p} {\frac{1}{p}} }[/math], где суммирование ведётся по простым [math]\displaystyle{ p \equiv l \pmod k }[/math], расходится.

См. также

• Характеры — основной математический инструмент изучения простых чисел в арифметической прогрессии

Литература

Постников М.М. Теорема Ферма. Введение в теорию алгебраических чисел.. — М.: Наука, 1986.