Характер представления группы
Характер представления группы — функция на группе, возвращающая след (сумму диагональных элементов) матрицы, соответствующей данному элементу в представлении[1][2].
Обычно обозначаются буквой [math]\displaystyle{ \chi }[/math][3].
Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.
Определение
Если [math]\displaystyle{ f }[/math] — конечномерное представление группы [math]\displaystyle{ G }[/math], то характер этого представления — это функция из [math]\displaystyle{ G }[/math] во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу [math]\displaystyle{ G }[/math]. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы.
Свойства
- Характеры эквивалентных представлений совпадают[2].
- Изоморфные представления имеют одинаковые характеры[4].
- Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций[2][5].
- Скалярный квадрат характера неприводимого представления равен единице[2].
- Характер приводимого представления равен сумме характеров всех неприводимых представлений, которые в нем встречаются[2][4].
- Два представления, имеющие одинаковые характеры, эквивалентны[2][6].
- Если представление приводимо, то скалярный квадрат его характера больше единицы[7].
- У взаимно-сопряжённых элементов группы [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b^{-1}ab }[/math] характеры равны[7].
- Совокупность характеров всех неприводимых представлений является полной в линейном пространстве функций, определённых на классах сопряжённых элементов[7].
- Для любого элемента группы [math]\displaystyle{ a \in G }[/math] [math]\displaystyle{ \chi(a^{-1})=\overline{\chi(a)} }[/math][8].
- Для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен [math]\displaystyle{ 1 }[/math][9].
Примечания
- ↑ Ван дер Варден, 2004, с. 62.
- ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Любарский, 1958, с. 56.
- ↑ Головина, 1975, с. 366.
- ↑ 4,0 4,1 Головина, 1975, с. 367.
- ↑ Головина, 1975, с. 369.
- ↑ Ван дер Варден, 2004, с. 64.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Любарский, 1958, с. 57.
- ↑ Головина, 1975, с. 368.
- ↑ Головина, 1975, с. 372.
Литература
- Любарский Г. Я. Теория групп и её применение в физике. — М.: Наука, 1958. — 354 с.
- Ван дер Варден Б. Л. Метод теории групп в квантовой механике. — М.: Едиториал УРСС, 2004. — 200 с.
- Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые её приложения. — М.: Наука, 1975. — 407 с.