Характер (теория чисел)
Характер (или числовой характер, или характер Дирихле), это определённая арифметическая функция, которая возникает из вполне мультипликативных характеров на обратимых элементах [math]\displaystyle{ \mathbb Z / k \mathbb Z }[/math]. Характеры Дирихле используются для определения L-функций Дирихле, которые являются мероморфными функциями со множеством интересных аналитических свойств. Если [math]\displaystyle{ \chi }[/math] является характером Дирихле, его L-ряд Дирихле определяется равенством
- [math]\displaystyle{ L(s,\chi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s} }[/math]
где s — комплексное число с вещественной частью > 1. Путём аналитического продолжения эта функция может быть продолжена до мероморфной функции на всей комплексной плоскости. L-функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно проявляются в обобщённых гипотезах Римана.
Характеры Дирихле названы в честь Петера Густава Лежёна Дирихле.
Аксиоматическое определение
Характер Дирихле — это любая функция [math]\displaystyle{ \chi }[/math] на множестве целых чисел [math]\displaystyle{ \Z }[/math] с комплексными значениями, имеющая следующие свойства[1]:
- Существует положительное целое число k, такое что [math]\displaystyle{ \chi(n) = \chi(n + k) }[/math] для любых n.
- Если n и k не взаимно просты, то [math]\displaystyle{ \chi(n) = 0 }[/math]; если же они взаимно просты, [math]\displaystyle{ \chi(n) \ne 0 }[/math].
- [math]\displaystyle{ \chi(mn) = \chi(m)\chi(n) }[/math] для любых целых m и n.
Из этого определения можно вывести некоторые другие свойства. Согласно свойству 3) [math]\displaystyle{ \chi(1) = \chi (1 \times 1)= \chi (1)\chi (1) }[/math]. Поскольку НОД(1, k) = 1, свойство 2) гласит, что [math]\displaystyle{ \chi(1) \ne 0 }[/math], так что
- [math]\displaystyle{ \chi(1) = 1 }[/math].
Свойства 3) и 4) показывают, что любой характер Дирихле [math]\displaystyle{ \chi }[/math] является вполне мультипликативным характером.
Свойство 1) говорит, что характер является периодической функцией с периодом k. Мы говорим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] является характером по модулю k. Это эквивалентно утверждению, что
- если [math]\displaystyle{ a \equiv b \pmod k }[/math], то [math]\displaystyle{ \chi(a) = \chi(b) }[/math].
Если НОД(a,k) = 1, теорема Эйлера утверждает, что [math]\displaystyle{ a^{\varphi(k)} \equiv 1 \pmod k }[/math] (где [math]\displaystyle{ \varphi(k) }[/math] является функцией Эйлера). Таким образом, согласно свойствам 5) и 4), [math]\displaystyle{ \chi(a^{\varphi(k)}) = \chi(1) = 1 }[/math], а по свойству 3) [math]\displaystyle{ \chi(a^{\varphi(k)}) =\chi(a)^{\varphi(k)} }[/math]. Следовательно,
- Для всех a, взаимно простых с k, [math]\displaystyle{ \chi(a) }[/math] является [math]\displaystyle{ \varphi(k) }[/math]-ым комплексным корнем из единицы,
то есть [math]\displaystyle{ e^{2ri\pi/\varphi(k)} }[/math] для некоторого целого [math]\displaystyle{ 0 \leqslant r \lt \varphi(k) }[/math].
Единственный характер с периодом 1 называется тривиальным характером. Заметим, что любой характер обращается в 0 в точке 0, за исключением тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.
- Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с [math]\displaystyle{ k }[/math], называется главным:
- [math]\displaystyle{ \chi_0(n)=\left\{\begin{array}{ll}1,&\text{НОД}(n,\;k)=1;\\0,&\text{НОД}(n,\;k)\neq 1.\end{array}\right. }[/math][2].
- В группе характеров по модулю [math]\displaystyle{ k }[/math] он играет роль единицы.
Характер называется вещественным, если он принимает только вещественные значения. Характер, не являющийся вещественным, называется комплексным[3]
Знак характера [math]\displaystyle{ \chi }[/math] зависит от его значения в точке −1. Говорят, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] нечётный, если [math]\displaystyle{ \chi(-1) = -1 }[/math], и чётный, если [math]\displaystyle{ \chi(-1) = 1 }[/math].
Построение через классы вычетов
Характеры Дирихле могут рассматриваться в терминах группы характеров группы обратимых элементов кольца [math]\displaystyle{ \Z/k\Z }[/math] как расширенные характеры классов вычетов[4].
Классы вычетов
Если дано целое число k, можно определить класс вычета целого числа n как множество всех целых чисел, сравнимых с n по модулю k: [math]\displaystyle{ \hat{n}=\{m \mid m \equiv n \pmod k \}. }[/math] То есть класс вычетов [math]\displaystyle{ \hat{n} }[/math] является классом смежности n в факторкольце [math]\displaystyle{ \Z/k\Z }[/math].
Множество обратимых элементов по модулю k образует абелеву группу порядка [math]\displaystyle{ \varphi(k) }[/math], где умножение в группе задаётся равенством [math]\displaystyle{ \widehat{mn}=\hat{m}\hat{n} }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] снова означает функцию Эйлера. Единицей в этой группе служит класс вычетов [math]\displaystyle{ \hat{1} }[/math], а обратным элементом для [math]\displaystyle{ \hat{m} }[/math] является класс вычетов [math]\displaystyle{ \hat{n} }[/math], где [math]\displaystyle{ \hat{m} \hat{n} = \hat{1} }[/math], то есть [math]\displaystyle{ m n \equiv 1 \pmod k }[/math]. Например, для k=6 множеством обратимых элементов является [math]\displaystyle{ \{\hat{1}, \hat{5}\} }[/math], поскольку 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.
Группа характеров [math]\displaystyle{ (\Z/k)^* }[/math] состоит из характеров классов вычетов. Характер класса вычетов [math]\displaystyle{ \theta }[/math] на [math]\displaystyle{ (\Z/k)^* }[/math] примитивен, если нет собственного делителя d для k, такого что [math]\displaystyle{ \theta }[/math] факторизуются как [math]\displaystyle{ (\Z/k)^* \to (\Z/d)^* \to \Complex^* }[/math][5].
Характеры Дирихле
Определение характера Дирихле по модулю k обеспечивает, чтобы он был ограничен характером группы обратимых элементов по модулю k[6]: группа гомоморфизмов [math]\displaystyle{ \chi }[/math] из [math]\displaystyle{ (\Z/k)^* }[/math] в ненулевые комплексные числа
- [math]\displaystyle{ \chi : (\mathbb{Z}/k\mathbb{Z})^* \to \mathbb{C}^* }[/math],
со значениями, которые обязательно будут корнями из единицы, поскольку обратимые элементы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, если дана группа гомоморфизмов [math]\displaystyle{ \chi }[/math] на группе обратимых элементов по модулю k, мы можем поднять до вполне мультипликативной функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем расширить эту функцию на все целые числа путём присвоения значения 0 на всех целых числах, имеющих нетривиальные делители, общие с k. Получающаяся функция будет тогда характером Дирихле[7].
Главный характер [math]\displaystyle{ \chi_1 }[/math] по модулю k имеет свойства [7]
- [math]\displaystyle{ \chi_1(n)=1 }[/math] при НОД(n, k) = 1 и
- [math]\displaystyle{ \chi_1(n)=0 }[/math] при НОД(n, k) > 1.
Ассоциированный характер мультипликативной группе [math]\displaystyle{ (\Z/k)^* }[/math] является главным характером, который всегда принимает значение 1[8].
Когда k равен 1, главный характер по модулю k равен 1 на всех целых чисел. Для k, большего 1, главные характеры по модулю k обращаются в нуль в целых числах, имеющих ненулевые общие множители с k, и равно 1 на других целых числах.
Имеется [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math] характеров Дирихле по модулю n[7].
Примеры
- Для любого нечётного модуля [math]\displaystyle{ k }[/math] символ Якоби [math]\displaystyle{ \left(\frac{n}{k}\right) }[/math] является характером по модулю [math]\displaystyle{ k }[/math].
- Степенной вычет степени выше 2 — это невещественный характер.
Некоторые таблицы характеров
Таблицы ниже помогают иллюстрировать природу характеров Дирихле. Они представляют характеры по модулю от 1 до 10. Характеры [math]\displaystyle{ \chi_1 }[/math] являются главными характерами.
По модулю 1
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(1)=1 }[/math] характер по модулю 1:
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 1
Это тривиальный характер.
По модулю 2
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(2)=1 }[/math] характер по модулю 2:
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением [math]\displaystyle{ \chi(1) }[/math], поскольку 1 порождает группу обратимых элементов по модулю 2.
По модулю 3
Есть [math]\displaystyle{ \varphi(3)=2 }[/math] характера по модулю 3:
[math]\displaystyle{ \chi\setminus n }[/math] 0 1 2 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением [math]\displaystyle{ \chi(2) }[/math], поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 3.
По модулю 4
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(4)=2 }[/math] характера по модулю 4:
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 0 −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением [math]\displaystyle{ \chi(3) }[/math], поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 4.
L-ряд Дирихле для [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] равен лямбда-функции Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле)
- [math]\displaystyle{ L(\chi_1, s)= (1-2^{-s})\zeta(s) }[/math],
где [math]\displaystyle{ \zeta(s) }[/math] является дзета-функцией Римана. L-ряд для [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] является бета-функцией Дирихле
- [math]\displaystyle{ L(\chi_2, s)=\beta(s).\, }[/math]
По модулю 5
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(5)=4 }[/math] характеров по модулю 5. В таблицах i является квадратным корнем из [math]\displaystyle{ -1 }[/math].
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 1 1 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 i −i −1 [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] 0 1 −1 −1 1 [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] 0 1 −i i −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значение [math]\displaystyle{ \chi(2) }[/math], поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 5.
По модулю 6
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(6)=2 }[/math] характеров по модулю 6:
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 5 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 0 0 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 0 0 0 −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением[math]\displaystyle{ \chi(5) }[/math], поскольку 5 порождает группу обратимых элементов по модулю 6.
По модулю 7
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(7)=6 }[/math] характеров по модулю 7. В таблице ниже [math]\displaystyle{ \omega = \exp( \pi i /3). }[/math]
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 5 6 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 1 1 1 1 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \omega }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] −1 [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] 0 1 −[math]\displaystyle{ \omega }[/math] [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] 1 [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] 0 1 1 −1 1 −1 −1 [math]\displaystyle{ \chi_5(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] 1 [math]\displaystyle{ \chi_6(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \omega }[/math] −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением [math]\displaystyle{ \chi(3) }[/math], поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 7.
По модулю 8
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(8)=4 }[/math] характеров по модулю 8.
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 5 6 7 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 0 1 0 1 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 0 1 0 −1 0 −1 [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] 0 1 0 −1 0 1 0 −1 [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] 0 1 0 −1 0 −1 0 1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значениями [math]\displaystyle{ \chi(3) }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi(5) }[/math], поскольку 3 и 5 порождают группу обратимых элементов по модулю 8.
По модулю 9
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(9)=6 }[/math] характеров по модулю 9. В таблице ниже [math]\displaystyle{ \omega = \exp( \pi i /3). }[/math]
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 1 0 1 1 0 1 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 0 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] 0 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] −1 [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] 0 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 0 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] 1 [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] 0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1 [math]\displaystyle{ \chi_5(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] 0 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] 0 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] 1 [math]\displaystyle{ \chi_6(n) }[/math] 0 1 [math]\displaystyle{ -\omega^2 }[/math] 0 [math]\displaystyle{ -\omega }[/math] [math]\displaystyle{ \omega }[/math] 0 [math]\displaystyle{ \omega^2 }[/math] −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением[math]\displaystyle{ \chi(2) }[/math], поскольку 2 порождает группу обратимых элементов по модулю 9.
По модулю 10
Существует [math]\displaystyle{ \varphi(10)=4 }[/math] характеров по модулю 10.
[math]\displaystyle{ \chi \setminus n }[/math] 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 [math]\displaystyle{ \chi_1(n) }[/math] 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_2(n) }[/math] 0 1 0 i 0 0 0 −i 0 −1 [math]\displaystyle{ \chi_3(n) }[/math] 0 1 0 −1 0 0 0 −1 0 1 [math]\displaystyle{ \chi_4(n) }[/math] 0 1 0 −i 0 0 0 i 0 −1
Заметим, что [math]\displaystyle{ \chi }[/math] полностью определяется значением [math]\displaystyle{ \chi(3) }[/math], поскольку 3 порождает группу обратимых элементов по модулю 10.
Примеры
Если p является нечётным простым числом, то функция
- [math]\displaystyle{ \chi(n) = \left(\frac{n}{p}\right),\ }[/math] где [math]\displaystyle{ \left(\frac{n}{p}\right) }[/math] является символом Лежандра, является примитивным характером Дирихле по модулю p[9].
Более обще, если m является положительным нечётным числом, функция
- [math]\displaystyle{ \chi(n) = \left(\frac{n}{m}\right),\ }[/math] где [math]\displaystyle{ \left(\frac{n}{m}\right) }[/math] является символом Якоби, является характером Дирихле по модулю m[9].
Это квадратичные характеры — в общем случае примитивные квадратичные характеры возникают в точности из cимвола Кронекера — Якоби[10].
Примитивные характеры и кондуктор
При переходе от вычетов по модулю N к вычетам по модулю M для любого множителя M числа N происходит потеря информации. Эффект характеров Дирихле дает противоположный результат – если [math]\displaystyle{ \chi* }[/math] является характером по модулю M, он индуцирует характер [math]\displaystyle{ \chi* }[/math] по модулю N для любого N, кратного M. Характер является примитивным, если он не индуцируется каким-либо характером по меньшему модулю[3].
Если [math]\displaystyle{ \chi }[/math] – характер по модулю n и d делит n, мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для [math]\displaystyle{ \chi }[/math], если [math]\displaystyle{ \chi(a)=1 }[/math] для всех a, взаимно простых с n и 1 mod d[11]: характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля[12].
Мы можем это формализовать различным образом путём определения характеров [math]\displaystyle{ \chi_1 \mod N_1 }[/math] и [math]\displaystyle{ \chi_2 \mod N_2 }[/math] как согласованных, если для некоторого модуля N, такого что N1 и N2 оба делят N, мы имеем [math]\displaystyle{ \chi_1(n) = \chi_2(n) }[/math] для всех n взаимно простых с N, то есть существует некоторый характер [math]\displaystyle{ \chi* }[/math], порождённый как [math]\displaystyle{ \chi_1 }[/math], так и [math]\displaystyle{ \chi_2 }[/math]. Это отношение эквивалентности на характерах. Характер с наименьшим модулем в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является кондуктором характеров в классе.
Непримитивность характеров может привести к отсутствию эйлеровых множителей в их L-функциях.
Ортогональность характеров
Ортогональность характеров конечной группы переносится на характеры Дирихле[13].
Если мы зафиксируем характер [math]\displaystyle{ \chi }[/math] по модулю n, то
- [math]\displaystyle{ \sum_{a \bmod n} \chi(a) = 0 }[/math],
если [math]\displaystyle{ \chi }[/math] не главный характер, иначе сумма равна [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math].
Аналогично, если зафиксировать класс вычетов a по модулю n, то сумма по всем характерам даёт
- [math]\displaystyle{ \sum_{\chi} \chi(a) = 0 }[/math],
кроме случая a=1, когда сумма равна [math]\displaystyle{ \varphi(n) }[/math].
Отсюда делаем вывод, что любая периодическая функция с периодом n над классом вычетов, взаимно простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле[14].
История
Характеры Дирихле вместе с их [math]\displaystyle{ L }[/math]-рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для [math]\displaystyle{ s\in\mathbb{R} }[/math] и в основном когда [math]\displaystyle{ s }[/math] стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.
См. также
Примечания
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 117-8.
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 115.
- ↑ 3,0 3,1 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 123.
- ↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 218.
- ↑ Fröhlich, Taylor, 1991, с. 215.
- ↑ Apostol, 1976, с. 139.
- ↑ 7,0 7,1 7,2 Apostol, 1976, с. 138.
- ↑ Apostol, 1976, с. 134.
- ↑ 9,0 9,1 Montgomery, Vaughan, 2007, с. 295.
- ↑ Montgomery, Vaughan, 2007, с. 296.
- ↑ Apostol, 1976, с. 166.
- ↑ Apostol, 1976, с. 168.
- ↑ Apostol, 1976, с. 140.
- ↑ Davenport, 1967, с. 31–32.
Литература
- Apostol T. M. Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
- Apostol T. M. Some properties of completely multiplicative arithmetical functions // The American Mathematical Monthly. — 1971. — Т. 78, вып. 3. — С. 266–271. — doi:10.2307/2317522. — .
- Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Chicago: Markham, 1967. — Т. 1. — (Lectures in advanced mathematics).
- Дэвенпорт Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Наука», 1971.
- Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2nd revised. — Springer-Verlag. — Т. 59. — (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). см. главу 13.
- Хассе Г. Лекции по теории чисел. — М.: Иностранной литературы, 1953.
- Mathar, R. J. (2010), Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli, arΧiv:1008.2547 [math.NT].
- Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. Multiplicative number theory. I. Classical theory. — Cambridge University Press, 2007. — Т. 97. — (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 0-521-84903-9.
- Монтгомери Г. Мультипликативная теория чисел. — М.: «Мир», 1974.
- Robert Spira. Calculation of Dirichlet L-Functions // Mathematics of Computation. — 1969. — Т. 23, вып. 107. — С. 489–497. — doi:10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X.
- Fröhlich A., Taylor M.J. Algebraic number theory. — Cambridge University Press, 1991. — Т. 27. — (Cambridge studies in advanced mathematics). — ISBN 0-521-36664-X.
Литература
- Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
- Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.