Теория Бранса — Дикке

Тео́рия Бра́нса — Ди́кке (реже тео́рия Йо́рдана — Бра́нса — Ди́кке) — скалярно-тензорная теория гравитации, совпадающая в одном из пределов с общей теорией относительности. В теории Йордана — Бранса — Дикке как скалярно-тензорной метрической теории гравитационное воздействие на материю реализуется через метрический тензор пространства-времени, а материя влияет на метрику не только непосредственно, но и через генерируемое дополнительно скалярное поле [math]\displaystyle{ \phi }[/math]. Из-за этого в теории Йордана — Бранса — Дикке гравитационная постоянная G не обязательно постоянна, но зависит от скалярного поля [math]\displaystyle{ 1/G\sim\phi }[/math], которое может изменяться в пространстве и времени.

Эта теория получила окончательную формулировку в 1961 году в статье Карла Бранса и Роберта Дикке, которая опиралась существенным образом на работу Паскуаля Йордана 1959 года. В «золотой век» общей теории относительности эта теория рассматривалась как достойный соперник общей теории относительности из числа альтернативных теорий гравитации.

Как теория, сводящаяся к ОТО при специальном наборе параметров, теория Йордана — Бранса — Дикке не может быть опровергнута экспериментами, не противоречащими общей теории относительности. Однако подтверждающие предсказания теории относительности эксперименты значительно ограничивают допустимый произвол параметров теории Йордана — Бранса — Дикке. В настоящее время теорию Йордана — Бранса — Дикке поддерживает меньшинство физиков.

Сравнение с общей теорией относительности

Как ОТО, так и теория Бранса — Дикке представляют собой примеры классических теорий гравитационного поля, называемых метрическими теориями. В этих теориях пространство-время описывается метрическим тензором [math]\displaystyle{ g_{ab} }[/math], а гравитационное поле представляется, полностью или частично, тензором кривизны Римана [math]\displaystyle{ R_{abcd} }[/math], который определяется метрическим тензором.

Все метрические теории удовлетворяют принципу эквивалентности Эйнштейна, который на современном геометрическом языке гласит, что в маленькой области пространства, слишком маленькой, чтобы в ней проявлялись эффекты, связанные с кривизной пространства, все законы физики, существующие в специальной теории относительности, верны в локальной лоренцевой системе отсчёта. Отсюда следует, что, во всех метрических теориях проявляется эффект гравитационного красного смещения.

Как и в ОТО, источником гравитационного поля является тензор энергии-импульса. Однако способ, которым наличие этого тензора в какой-либо области пространства влияет на гравитационное поле в этой области, оказывается другим. В теории Бранса — Дикке в дополнение к метрике, которая является тензором второго ранга, существует так же скалярное поле [math]\displaystyle{ \phi }[/math], которое физически проявляется как изменение в пространстве эффективной гравитационной постоянной.

Уравнения поля теории Бранса — Дикке содержат параметр [math]\displaystyle{ \omega }[/math], называемый константой связи Бранса — Дикке. Это настоящая безразмерная константа, которая выбирается один раз и не изменяется. Разумеется, её следует выбирать так, чтобы она соответствовала наблюдениям. Кроме того, существующее фоновое значение эффективной гравитационной постоянной должно быть использовано в качестве граничного условия. При возрастании константы связи теория Бранса — Дикке даёт предсказания, всё более близкие к ОТО, а в пределе [math]\displaystyle{ \omega \to \infty }[/math] переходит в неё.

В ОТО безразмерные константы отсутствуют, и, следовательно, она легче поддаётся фальсификации, чем теория Бранса — Дикке. Теории, допускающие подгонку параметров, в принципе считаются менее удовлетворительными, и при выборе из двух альтернативных теорий следует выбирать ту, которая содержит меньшее количество параметров (принцип бритвы Оккама). Однако в некоторых теориях такие параметры являются необходимыми.

Теория Бранса — Дикке является менее строгой, чем ОТО и в ещё одном смысле — она допускает большее количество решений. В частности, точное вакуумное решение уравнений Эйнштейна ОТО, дополненное тривиальным скалярным полем [math]\displaystyle{ \phi = 1 }[/math], становится точным вакуумным решением в теории Бранса — Дикке, однако некоторые решения, которые не являются вакуумными решениями ОТО, при соответствующем выборе скалярного поля становятся вакуумными решениями теории Бранса — Дикке. Аналогично, важный класс метрик пространства-времени, называемых pp-волнами, являются нулевыми пылевыми решениями как в ОТО, так и в теории Бранса — Дикке, однако в теории Бранса — Дикке существуют дополнительные волновые решения, имеющие геометрии, невозможные в ОТО.

Как и ОТО, теория Бранса — Дикке предсказывает гравитационное линзирование и прецессию перигелия планет, вращающихся вокруг Солнца. Однако точные формулы, описывающие эти эффекты в ней, зависят от значения константы связи [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. Это означает, что из наблюдений может быть получено значение нижней границы на возможные значения [math]\displaystyle{ \omega }[/math]. В 2003 году в ходе эксперимента Кассини-Гюйгенс было показано, что [math]\displaystyle{ \omega }[/math] должно превышать 40000.

Часто можно услышать, что теория Бранса — Дикке, в отличие от ОТО, удовлетворяет принципу Маха. Однако некоторые авторы утверждают, что это не так (особенно учитывая отсутствие консенсуса о том, что, собственно, представляет собой принцип Маха). Обычно утверждается, что ОТО может быть получена из теории Бранса — Дикке при [math]\displaystyle{ \omega \to \infty }[/math]. Однако Фараони (см. ссылки) утверждает, что такая точка зрения является упрощением. Утверждается также, что только ОТО удовлетворяет сильному принципу эквивалентности.

Уравнения поля

Уравнения поля в теории Бранса — Дикке имеют следующий вид:

[math]\displaystyle{ \Box\phi = \frac{8\pi}{3+2\omega}T }[/math],

[math]\displaystyle{ G_{ab} = \frac{8\pi}{\phi}T_{ab}+\frac{\omega}{\phi^2} \left(\partial_a\phi\partial_b\phi-\frac{1}{2}g_{ab}\partial_c\phi\partial^c\phi\right) +\frac{1}{\phi}(\nabla_a\nabla_b\phi-g_{ab}\Box\phi), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \omega }[/math] — безразмерная константа связи Бранса — Дикке,

[math]\displaystyle{ g_{ab} }[/math] — метрический тензор,

[math]\displaystyle{ G_{ab} = R_{ab} - \frac{1}{2} R g_{ab} }[/math] — тензор Эйнштейна,

[math]\displaystyle{ R_{ab} = R^m{}_{amb} }[/math] — тензор Риччи, след тензора кривизны,

[math]\displaystyle{ R = R^m{}_m }[/math] — скаляр Риччи, след тензора Риччи,

[math]\displaystyle{ T_{ab} }[/math] — тензор энергии-импульса,

[math]\displaystyle{ T }[/math] — след [math]\displaystyle{ T_{ab} }[/math],

[math]\displaystyle{ \phi }[/math] — скалярное поле,

[math]\displaystyle{ \Box }[/math] — оператор Лапласа — Бельтрами или ковариантный волновой оператор, [math]\displaystyle{ \Box \phi = \phi^{;a}{}_{;a} }[/math].

Первое уравнение утверждает, что след тензора энергии-импульса является источником скалярного поля [math]\displaystyle{ \phi }[/math]. Так как электромагнитное поле вносит вклад только в бесследовые члены тензора энергии-импульса, то в областях пространства, содержащих только электромагнитное поле (плюс гравитационное поле), правая часть выражения обращается в ноль и [math]\displaystyle{ \phi }[/math] свободно проходит сквозь электровакуумный регион и [math]\displaystyle{ \phi }[/math] удовлетворяет волновому уравнению (для искривлённого пространства). Это означает, что любые изменения в [math]\displaystyle{ \phi }[/math] свободно распространяется через электровакуумную область; в этом смысле мы можем утверждать, что [math]\displaystyle{ \phi }[/math] является дальнодействующем полем

Второе уравнение описывает, каким образом тензор энергии-импульса и скалярное поле [math]\displaystyle{ \phi }[/math] совместно влияют на пространство-время. Слева тензор Эйнштейна может рассматриваться как средняя кривизна. Из математики следует, что в любой метрической теории тензор Римана может быть записан как сумма тензора Вейля (также называемого конформным тензором кривизны) плюс слагаемого, собираемого из тензора Эйнштейна.

Для сравнения, уравнения поля в общей теории относительности

[math]\displaystyle{ G_{ab} = 8 \pi T_{ab}. }[/math]

Оно означает, что в ОТО кривизна Эйнштейна полностью определяется тензором энергии-импульса, а другое слагаемое, кривизна Вейля, соответствует части гравитационного поля, распространяющейся сквозь вакуум. А в теории Бранса — Дикке тензор Эйнштейна определяется частично непосредственно присутствующими энергией и импульсом, а частично дальнодействующим скалярным полем [math]\displaystyle{ \phi }[/math].

Уравнения поля в вакууме обоих теорий получаются при занулении тензора энергии-импульса. Они описывают ситуацию, когда все поля, кроме гравитационного, отсутствуют.

Действие

Лагранжиан, содержащий полное описание теории Бранса — Дикке, выглядит следующим образом:

[math]\displaystyle{ S=\frac{1}{16\pi}\int d^4x\sqrt{-g} \left(\phi R - \omega\frac{\partial_a\phi\partial^a\phi}{\phi} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right), }[/math]

где

[math]\displaystyle{ g }[/math] — детерминант метрики,

[math]\displaystyle{ \sqrt{-g} \, d^4 x }[/math] — четырёхмерная форма объёма,

[math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{M} }[/math] — лагранжиан вещества.

Последнее слагаемое включает в себя вклад обычной материи и электромагнитного поля. В вакууме он обращается в ноль, и то, что остаётся, называется гравитационным слагаемым. Для того, чтобы получить вакуумные уравнения, мы должны посчитать его вариации относительно метрики [math]\displaystyle{ g_{a b} }[/math]; это даст нам второе из уравнений поля. При расчёте же вариаций относительно скалярного поля [math]\displaystyle{ \phi }[/math] мы получим первое из уравнений. Заметим что, в отличие от уравнений ОТО, слагаемое [math]\displaystyle{ \delta R_{ab}/\delta g_{cd} }[/math] не обнуляется, так как результат не является полным дифференциалом. Можно показать, что:

[math]\displaystyle{ \frac{\delta(\phi R)}{\delta g^{ab}} = \phi R_{ab} + g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab}. }[/math]

Для того, чтобы доказать это воспользуемся тем, что

[math]\displaystyle{ \delta (\phi R) = R \delta \phi + \phi R_{mn} \delta g^{mn} + \phi \nabla_s (g^{mn} \delta\Gamma^s_{nm} - g^{ms}\delta\Gamma^r_{rm}). }[/math]

При вычислении [math]\displaystyle{ \delta\Gamma }[/math] в римановых нормальных координатах 6 индивидуальных слагаемых оказываются равными нулю. Ещё 6 могут быть скомбинированы, используя теорему Стокса, что даёт [math]\displaystyle{ (g_{ab}g^{cd}\phi_{;cd} - \phi_{;ab})\delta g^{ab} }[/math].

Для сравнения, в общей теории относительности действие имеет вид:

[math]\displaystyle{ S = \int d^4x\sqrt{-g} \, \left(\frac{R }{16\pi G} + \mathcal{L}_\mathrm{M}\right). }[/math]

Считая вариации гравитационного члена относительно [math]\displaystyle{ g_{a b} }[/math], получаем полевые уравнения Эйнштейна в вакууме.

В обоих теориях полные полевые уравнения могут быть получены путём вариаций полного лагранжиана, так что они обладают действием.

См. также

• Классические теории гравитации
• Космология непрерывного рождения вещества, модификация теории Бранса — Дикке, позволяющая неминимально связанному скалярному полю взаимодействовать с веществом.

Внешние ссылки

• P. G. Bergmann. Comments on the scalar-tensor theory (англ.) // Int. J. Theor. Phys. : journal. — 1968. — Vol. 1. — P. 25. — doi:10.1007/BF00668828.
• R. V. Wagoner. Scalar-tensor theory and gravitational waves (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1970. — Vol. D1. — P. 3209.
• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; & Wheeler, John Archibald. Gravitation (неопр.). — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 0-7167-0344-0.
  См. Box 39.1.
• Will, Clifford M. Was Einstein Right?: Putting General Relativity to the Test (англ.). — NY: Basic Books, 1986. — ISBN 0-19-282203-9.
  Chapter 8: "The Rise and Fall of the Brans-Dicke Theory".
• Faroni, Valerio. Illusions of general relativity in Brans-Dicke gravity (англ.) // Phys. Rev. : journal. — 1999. — Vol. D59. — P. 084021.
  Также препринт в ArXiv.
• Faraoni, Valerio. Cosmology in scalar-tensor gravity (неопр.). — Boston: Kluwer, 2004. — ISBN 1-4020-1988-2.
• Carl H. Brans, The roots of scalar-tensor theory: an approximate history (неопр.). ArXiv. Дата обращения: 14 июня 2005.