Тензор энергии-импульса

Те́нзор эне́ргии-и́мпульса (ТЭИ) — симметричный тензор второго ранга (валентности), описывающий плотность и поток энергии и импульса полей материи и определяющий взаимодействие этих полей с гравитационным полем.

Тензор энергии-импульса является дальнейшим релятивистским обобщением понятий энергии и импульса классической механики сплошной среды. Близким к нему понятием-обобщением является 4-вектор энергии-импульса частицы в специальной теории относительности.

Компоненты тензора энергии-импульса

Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:

[math]\displaystyle{ T^{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{00} & T^{01} & T^{02} & T^{03} \\ T^{10} & T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{20} & T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{30} & T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right). }[/math]

В нём обнаруживаются следующие физические величины:

• T⁰⁰ — объёмная плотность энергии. Как правило, она должна быть положительной, однако теоретически допускается существование локальных пространственных областей с отрицательной плотностью энергии. В частности, подобную область можно создать с помощью эффекта Казимира.
• T¹⁰, T²⁰, T³⁰ — компоненты импульса плотности, умноженные на c.
• T⁰¹, T⁰², T⁰³ — компоненты потока энергии (вектора Пойнтинга), делённые на c. В силу симметрии T^μν соблюдается равенство: T^0μ = T^μ0
• Подматрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент

[math]\displaystyle{ T^{ik} \ = \ \left( \begin{matrix} T^{11} & T^{12} & T^{13} \\ T^{21} & T^{22} & T^{23} \\ T^{31} & T^{32} & T^{33} \end{matrix} \right) }[/math]

есть 3-мерный тензор плотности потока импульса, или тензор напряжений со знаком минус.

Таким образом, компоненты тензора энергии-импульса имеют размерность ML⁻¹T⁻².

Частные случаи

В механике жидкости диагональные её компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.

Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице [math]\displaystyle{ {\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p) }[/math], где [math]\displaystyle{ {\rho} }[/math] есть плотность массы, а [math]\displaystyle{ p }[/math] — гидростатическое давление.

• В простом случае пылевидной материи тензор энергии-импульса записывается как

[math]\displaystyle{ T^{ik} = \rho\, u^i u^k }[/math]

где [math]\displaystyle{ \rho }[/math] — плотность массы (покоя), [math]\displaystyle{ u^i, u^k }[/math] — компоненты 4-скорости — записано также для простейшего случая, когда все пылевые частицы движутся с одинаковой скоростью хотя бы локально, а если последнее не так, выражение надо еще суммировать (интегрировать) по скоростям.

Канонический тензор энергии-импульса

В специальной теории относительности физические законы одинаковы во всех точках пространства-времени, поэтому трансляции 4-координат не должны изменять уравнений движения поля. Таким образом, согласно теореме Нётер, бесконечно малым пространственно-временным трансляциям должен соответствовать сохраняющийся нётеровский поток, который в данном случае называется каноническим ТЭИ.

Для лагранжиана (плотности функции Лагранжа) [math]\displaystyle{ \mathcal{L}_\mathrm{M} = \mathcal{L}_\mathrm{M} ( \phi_i , \partial_{\mu} \phi_i ) }[/math], зависящего от полевых функций [math]\displaystyle{ \phi_i }[/math] и их первых производных, но не зависящего от координат, функционал действия будет инвариантен относительно трансляций:

[math]\displaystyle{ \begin{cases} x^{\mu} \to x^{\prime\mu} = x^{\mu} + \delta x^{\mu} \\ \phi_i(x) \to \phi_i^{\prime}(x^{\prime}) = \phi_i(x). \end{cases} }[/math]

Из теоремы Нётер будет следовать закон сохранение канонического ТЭИ (записан в галилеевых координатах)

[math]\displaystyle{ {{T_c}^\mu}_\nu (x) = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial_{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} \delta^\mu_\nu , }[/math]

который имеет вид

[math]\displaystyle{ \partial_{\mu} {T^\mu}_\nu \equiv T^\mu_{\nu,\;\mu}=0. }[/math]

Канонический ТЭИ в полностью контравариантном виде имеет форму

[math]\displaystyle{ T^{\mu\nu} = g^{\nu\rho}\, {T^\mu}_\rho = \sum^{n}_{i=1} \frac{\partial \mathcal{L}_\mathrm{M}} {\partial (\partial_{\mu} \phi_{i})} \partial^{\nu} \phi_{i} - \mathcal{L}_\mathrm{M} g^{\mu\nu} . }[/math]

Этот тензор неоднозначен. Свойство неоднозначности можно использовать для приведения, вообще говоря, несимметричного тензора [math]\displaystyle{ T^{\mu\nu} }[/math] к симметризованному виду добавлением тензорной величины [math]\displaystyle{ \frac{\partial \psi^{\mu\nu\lambda}}{\partial x^{\lambda}}\;, }[/math] где тензор [math]\displaystyle{ \psi^{\mu\nu\lambda}\; }[/math] антисимметричен по двум последним индексам [math]\displaystyle{ \psi^{\mu\nu\lambda}=-\psi^{\mu\lambda\nu} }[/math]. Действительно, для симметризованного ТЭИ

[math]\displaystyle{ \Theta^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \partial_\lambda \psi^{\mu\nu\lambda} }[/math]

автоматически следует закон сохранения [math]\displaystyle{ \partial_\nu \Theta^{\mu\nu} = 0 . }[/math]

Метрический тензор энергии-импульса

В общей теории относительности так называемый метрический ТЭИ [math]\displaystyle{ T^ {\mu \nu} (x) }[/math] выражается через вариационную производную по метрическому тензору [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math] в точке [math]\displaystyle{ x }[/math] пространства-времени от инвариантной относительно замен координат лагранжевой плотности функционала действия:

[math]\displaystyle{ {T_m}^{\mu \nu} (x) = \frac {2}{\sqrt{-g}} \frac {\delta (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \delta g_{\mu \nu} (x)}=g^{\mu \nu} \mathcal{L}_\mathrm{M} - 2 \frac{\delta \mathcal{L}_\mathrm{M}}{\delta g_{\mu \nu}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =\frac {2}{\sqrt{-g}}\left(\frac{\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{ \partial g_{\mu \nu} (x)}-\frac{\partial}{\partial x^\lambda}\frac {\partial (\sqrt{-g} \mathcal{L}_\mathrm{M})}{\partial\displaystyle\frac{\partial g_{\mu \nu} (x)}{\partial x^\lambda}}+\ldots\right), }[/math]

где [math]\displaystyle{ g(x) = \det \left ( g_{\mu \nu} (x) \right ). }[/math] Этот тензор энергии-импульса очевидно симметричен. В уравнения Эйнштейна метрический ТЭИ входит в качестве внешнего источника гравитационного поля:

[math]\displaystyle{ \frac {c^4}{8 \pi G} \left ( R_{ \mu \nu } - \frac {1}{2} g_{ \mu \nu } R + \Lambda g_{ \mu \nu } \right ) = T_{ \mu \nu } (x), }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_{ \mu \nu } }[/math] — тензор Риччи, [math]\displaystyle{ R = g^{ \mu \nu } R_{ \mu \nu } }[/math] — скалярная кривизна. Для этого тензора в силу инвариантности действия относительно координатных подстановок справедлив дифференциальный закон сохранения в виде

[math]\displaystyle{ T^\mu_{\nu;\mu}=0. }[/math]

Тензор энергии-импульса в классической электродинамике

Основная статья: Электромагнитный тензор энергии-импульса

В классической электродинамике тензор энергии-импульса электромагнитного поля в Международной системе единиц (СИ) имеет вид:

[math]\displaystyle{ T_{00} = \frac{\mathbf E \cdot \mathbf D}{2} + \frac{\mathbf B \cdot \mathbf H}{2} }[/math]

[math]\displaystyle{ \begin{pmatrix} T_{01} & T_{02} & T_{03} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} T_{10} & T_{20} & T_{30} \end{pmatrix} = \frac{1}{c} \left[ \mathbf E \times \mathbf H \right] }[/math]

[math]\displaystyle{ T_{ij} = E_i D_j + B_i H_j - \frac{1}{2}\delta_{ij}(\mathbf E \cdot \mathbf D + \mathbf B \cdot \mathbf H) = E_i D_j + B_i H_j - \delta_{ij}T_{00}. }[/math]

Пространственные компоненты [math]\displaystyle{ T_{ij} }[/math] образуют трёхмерный тензор, который называют максвелловским тензором напряжений или тензором натяжений Максвелла.

В ковариантной форме можно записать:

[math]\displaystyle{ T^{\mu\nu} = -\frac{1}{\mu_0}[ F^{\mu \alpha}F_{\alpha}{}^{\nu} + \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu}F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}] \,. }[/math]

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2001. — 534 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
  • § 32 — канонический ТЭИ
  • § 94 — метрический ТЭИ.

См. также

• Тензор кривизны
• Тензор Эйнштейна