Калибровочная теория гравитации
Калибровочная теория гравитации — это подход к объединению гравитации с другими фундаментальными взаимодействиями, успешно описываемыми в рамках калибровочной теории.
История
Первая калибровочная модель гравитации была предложена Р. Утиямой в 1956 г., два года спустя после рождения самой калибровочной теории.[1] Однако первоначальные попытки построить калибровочную теорию гравитации по аналогии с калибровочной теорией Янга — Миллса внутренних симметрий столкнулись с проблемой описания общих ковариантных преобразований и псевдоримановой метрики (тетрадного поля) в рамках такой калибровочной модели.
Чтобы решить эту проблему, было предложено представить тетрадное поле как калибровочное поле группы трансляций.[2] При этом генераторы общих ковариантных преобразований рассматривались как генераторы калибровочной группы трансляций и тетрадное поле (поле кореперов) отождествлялось с трансляционной частью аффинной связности на пространственно-временном многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math]. Любая такая связность является суммой [math]\displaystyle{ K=\Gamma + \Theta }[/math] общей линейной связности [math]\displaystyle{ \Gamma }[/math] на [math]\displaystyle{ X }[/math] и припаивающей формы [math]\displaystyle{ \Theta= \Theta_\mu^a dx^\mu\otimes\vartheta_a }[/math], где [math]\displaystyle{ \vartheta_a=\vartheta_a^\lambda\partial_\lambda }[/math] — неголономный репер.
Существуют различные физические интерпретации трансляционной части [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] аффинной связности. В калибровочной теории дислокаций поле [math]\displaystyle{ \Theta }[/math] описывает дисторсию.[3] В другой трактовке, если линейный репер [math]\displaystyle{ \vartheta_a }[/math] задан, разложение [math]\displaystyle{ \theta=\vartheta^a\otimes\vartheta_a }[/math] дает основание ряду авторов рассматривать корепер [math]\displaystyle{ \vartheta^a }[/math] именно как калибровочное поле трансляций.[4]
Общие ковариантные преобразования
Трудность построения калибровочной теории гравитации по аналогии с теорией Янга — Миллса вызвана тем, что калибровочные преобразования этих двух теорий принадлежат разным классам. В случае внутренних симметрий калибровочными преобразованиями являются вертикальные автоморфизмы главного расслоения [math]\displaystyle{ P\to X }[/math], оставляющие неподвижной его базу [math]\displaystyle{ X }[/math]. В то же время теория гравитации строится на главном расслоении [math]\displaystyle{ FX }[/math] касательных реперов к [math]\displaystyle{ X }[/math]. Оно принадлежит категории натуральных расслоений [math]\displaystyle{ T\to X }[/math], для которых диффеоморфизмы базы [math]\displaystyle{ X }[/math] канонически продолжаются до автоморфизмов [math]\displaystyle{ T }[/math].[5] Эти автоморфизмы называются общими ковариантными преобразованиями. Общих ковариантных преобразований достаточно, чтобы сформулировать и общую теорию относительности, и аффинно-метрическую теорию гравитации как калибровочную теорию.[6]
В калибровочной теории на натуральных расслоениях калибровочными полями являются линейные связности на пространственно-временном многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math], определяемые как связности на главном реперном расслоении [math]\displaystyle{ FX }[/math], а метрическое (тетрадное) поле играет роль хиггсовского поля, отвечающего за спонтанное нарушение общих ковариантных преобразований.[7]
Псевдориманова метрика и хиггсовские поля
Спонтанное нарушение симметрий является квантовым эффектом, когда вакуум не инвариантен относительно некоторой группы преобразований. В классической калибровочной теории спонтанное нарушение симметрий происходит, когда структурная группа [math]\displaystyle{ G }[/math] главного расслоения [math]\displaystyle{ P\to X }[/math] редуцирована к своей замкнутой подгруппе [math]\displaystyle{ H }[/math], то есть существует главное подрасслоение расслоения [math]\displaystyle{ P }[/math] со структурной группой [math]\displaystyle{ H }[/math].[8] При этом имеет место взаимно однозначное соответствие между редуцированными подрасслоениями [math]\displaystyle{ P }[/math] со структурной группой [math]\displaystyle{ H }[/math] и глобальными сечениями фактор-расслоения [math]\displaystyle{ P/H\to X }[/math]. Эти сечения описывают классические хиггсовские поля.
Первоначально идея интерпретировать псевдориманову метрику как хиггсовское поле возникла при построении индуцированных представлений общей линейной группы [math]\displaystyle{ GL(4,\mathbb R) }[/math] по подгруппе Лоренца.[9] Геометрический принцип эквивалентности, постулирующий существование системы отсчета, в которой сохраняются лоренцевские инварианты, предполагает редукцию структурной группы [math]\displaystyle{ GL(4,\mathbb R) }[/math] главного реперного расслоения [math]\displaystyle{ FX }[/math] к группе Лоренца. Тогда само определение псевдоримановой метрики на многообразии [math]\displaystyle{ X }[/math] как глобального сечения фактор-расслоения [math]\displaystyle{ FX/O(1,3)\to X }[/math] ведет к её физической интерпретации как хиггсовского поля.
См. также
Примечания
- ↑ R. Utiyama Invariant theoretical interpretation of interaction, — Physical Review 101 (1956) 1597 (русский перевод в Сб. Элементарные частицы и компенсирующие поля, под ред. Д. Д. Иваненко, — М.: Мир, 1964).
- ↑ F.Hehl, J. McCrea, E. Mielke, Y. Ne’eman Metric-affine gauge theory of gravity: field equations, Noether identities, world spinors, and breaking of dilaton invariance, — Physics Reports 258 (1995) 1.
- ↑ C.Malyshev The dislocation stress functions from the double curl [math]\displaystyle{ T(3) }[/math]-gauge equations: Linearity and look beyond, — Annals of Physics 286 (2000) 249.
- ↑ M. Blagojević Gravitation and Gauge Symmetries, — IOP Publishing, Bristol, 2002.
- ↑ I. Kolář, P. W. Michor, J. Slovák Natural Operations in Differential Geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993.
- ↑ Иваненко Д. Д., Пронин П. И., Сарданашвили Г. А. Калибровочная теория гравитации, — М.: Изд. МГУ, 1985.
- ↑ D.Ivanenko, G.Sardanashvily The gauge treatment of gravity, — Physics Reports 94 (1983) 1.
- ↑ L. Nikolova, V. Rizov Geometrical approach to the reduction of gauge theories with spontaneous broken symmetries, — Reports on Mathematical Physics 20 (1984) 287.
- ↑ M. Leclerc The Higgs sector of gravitational gauge theories, — Annals of Physics 321 (2006) 708.
Литература
- Д. Д. Иваненко, Г. А. Сарданашвили. Гравитация, 4-е изд., — М.: Изд. ЛКИ, 2010.
- I. Kirsch A Higgs mechanism for gravity, — Phys. Rev. D72 (2005) 024001; arXiv: hep-th/0503024.
- Yu. Obukhov Poincare gauge gravity: selected topics, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 3 (2006) 95-138; arXiv: gr-qc/0601090.
- G. Sardanashvily Classical gauge gravitation theory, — Int. J. Geom. Methods Mod. Phys. 8 (2011) 1869—1895; arXiv: 1110.1176.
