Тензор Эйнштейна
Те́нзор Эйнште́йна ([math]\displaystyle{ G_{\mu\nu} }[/math]) — тензорная величина, представляющая собой вариационную производную скалярной кривизны связности Леви-Чивиты по метрическому тензору. В этом качестве стоит в левой части уравнения Эйнштейна. Тензор Эйнштейна — симметричный тензор второго ранга в n-мерном пространстве, то есть содержит [math]\displaystyle{ n(n+1)/2 }[/math] независимых компонентов, представляющих собой сложные комбинации компонент метрического тензора и его первых и вторых производных.
Тензор Эйнштейна равен разности тензора Риччи [math]\displaystyle{ R_{\mu\nu} }[/math] и половины метрического тензора [math]\displaystyle{ g_{\mu\nu} }[/math], умноженного на скалярную кривизну [math]\displaystyle{ R }[/math]:
- [math]\displaystyle{ G_{\mu\nu} \, = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} \, g_{\mu\nu} \, R }[/math].
Домножив обе части этого равенства на [math]\displaystyle{ g^{\mu\nu} }[/math] и произведя свёртку, находим след тензора Эйнштейна:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr} \, G_{\mu\nu} \, = \frac{2 \, - n}{2} \, R }[/math].
При этом в частном случае четырёхмерного пространства:
- [math]\displaystyle{ \operatorname{Tr} \, G_{\mu\nu} \, = - \, R }[/math].
Ковариантная дивергенция тензора Эйнштейна тождественно равна нулю
- [math]\displaystyle{ G^\mu_{\nu;\mu} \equiv 0 }[/math],
что служит обоснованием его использования в левой части уравнения Эйнштейна, так как такое же свойство выполняется для тензора энергии-импульса.
См. также
Литература
- Ohanian, Hans C. Gravitation and Spacetime / Hans C. Ohanian, Remo Ruffini. — Second. — W. W. Norton & Company, 1994. — ISBN 978-0-393-96501-8.
- Martin, John Legat. General Relativity: A First Course for Physicists. — Revised. — Prentice Hall, 1995. — ISBN 978-0-13-291196-2.