Тензор Вейля

Тензор кривизны Вейля — часть тензора кривизны Римана с нулевым следом. Другими словами, это тензор, удовлетворяющий всем свойствам симметрии тензора Римана с дополнительным условием, что построенный по нему тензор Риччи равен нулю.

Назван в честь Германа Вейля.

Определение

Тензор Вейля можно получить из тензора кривизны, если вычесть из него определённые комбинации тензора Риччи и скалярной кривизны. Формула для тензора Вейля легче всего записывается через тензор Римана в форме тензора валентности (0,4):

[math]\displaystyle{ W = R - \frac{1}{n-2}\left(Ric - \frac{s}{n}g\right)\circ g - \frac{s}{2n(n-1)}g\circ g }[/math]

где n — размерность многообразия, g — метрика, R — тензор Римана, Ric — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, а h O k — так называемое произведение Кулкарни — Номидзу, произведение двух симметричных тензоров валентности (0,2) есть тензор валентности (0,4), удовлетворяющий симметриям тензора кривизны:

[math]\displaystyle{ (h\circ k)(v_1,v_2,v_3,v_4) = }[/math]	[math]\displaystyle{ h(v_1,v_3)k(v_2,v_4)+h(v_2,v_4)k(v_1,v_3)- }[/math]
	[math]\displaystyle{ {}-h(v_1,v_4)k(v_2,v_3)-h(v_2,v_3)k(v_1,v_4). }[/math]

В компонентах, тензор Вейля задаётся выражением:

[math]\displaystyle{ W_{abcd}=R_{abcd}-\frac{2}{n-2}(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a})+\frac{2}{(n-1)(n-2)}R~g_{a[c}g_{d]b} }[/math]

где [math]\displaystyle{ R_{abcd} }[/math] — тензор Римана, [math]\displaystyle{ R_{ab} }[/math] — тензор Риччи, [math]\displaystyle{ R }[/math] — скалярная кривизна и [] обозначает операцию антисимметризации.

Свойства

Тензор Вейля может иметь нетривиальную форму только в пространствах с размерностью не меньше четырёх. В двумерном и трёхмерном пространствах тензоры Вейля тождественно равны нулю.

Тензор Вейля остаётся инвариантным при конформных преобразованиях метрики. То есть, если для данной метрики g ввести новую метрику [math]\displaystyle{ \tilde{g}_{ij} = \Omega g_{ij} }[/math] при помощи некоторой функции [math]\displaystyle{ \Omega }[/math], то (1,3)-валентный тензор Вейля не изменяется: [math]\displaystyle{ \tilde{W}_{abc}{}^d = {W_{abc}}^d }[/math]. По этой причине тензор Вейля ещё называют конформным тензором. Из этого свойства следует, что
- для того, чтобы многообразие было конформно евклидовым, необходимо чтобы его тензор Вейля равнялся нулю.
- Для размерностей ≥ 4 это условие оказывается также и достаточным.
- Для пространств размерности 3 необходимым и достаточным условием конформной евклидовости является равенство нулю тензора Коттона.

См. также