Гравитационное красное смещение

Гравитационное красное смещение — проявление эффекта изменения частоты испущенного некоторым источником света (любых электромагнитных волн) по мере удаления от массивных объектов, таких как звёзды и чёрные дыры; оно наблюдается как сдвиг спектральных линий в излучении источников, близких к массивным телам, в красную область спектра. Свет, приходящий из областей с более слабым гравитационным полем, испытывает гравитационное синее смещение.

Эффекты смещения не ограничиваются исключительно электромагнитным излучением, а проявляются во всех периодических процессах — вдали от массивного объекта де-бройлевские частоты элементарных частиц (фотонов, электронов, протонов) выше, чем на его поверхности, и все процессы идут с большей скоростью. Данный эффект является одним из частных проявлений гравитационного замедления времени.

Определение

Гравитационное красное смещение принято обозначать символом [math]\displaystyle{ z_G }[/math] :

[math]\displaystyle{ z_G =\frac{\lambda-\lambda_0}{\lambda_0} = \frac{\nu_0-\nu}{\nu} }[/math] ,

где:

[math]\displaystyle{ \nu }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] — измеренная частота и длина волны фотона,

[math]\displaystyle{ \nu_0 }[/math] и [math]\displaystyle{ \lambda_0 }[/math] — лабораторная частота и длина волны фотона.

Гравитационное красное смещение было предсказано А. Эйнштейном (1911) при разработке общей теории относительности (ОТО), и в слабых гравитационных полях приблизительно равно

[math]\displaystyle{ z_G = \frac{\varphi - \varphi_{0}}{c^2} = \frac{GM}{c^2r} - \frac{GM}{c^2R} }[/math] ,

где:

[math]\displaystyle{ z_G }[/math] — относительное смещение спектральных линий под влиянием гравитации,

[math]\displaystyle{ \varphi= -\frac{GM}{R} }[/math] и [math]\displaystyle{ \varphi_{0} = -\frac{GM}{r} }[/math] — значения гравитационного потенциала в точках наблюдения и излучения соответственно,

[math]\displaystyle{ G }[/math] — гравитационная постоянная Ньютона;

[math]\displaystyle{ M }[/math] — масса гравитирующего тела,

[math]\displaystyle{ c }[/math] — скорость света,

[math]\displaystyle{ r }[/math] — радиальное расстояние от центра масс тела до точки излучения,

[math]\displaystyle{ R }[/math] — радиальное расстояние от центра масс тела до точки наблюдения.

Для света, излучаемого на расстоянии [math]\displaystyle{ r }[/math] от центра масс массивного тела и принимаемого на бесконечности ([math]\displaystyle{ R=\infty }[/math]), гравитационное красное смещение приблизительно равно:

[math]\displaystyle{ z_G =\frac{GM}{c^2r}. }[/math]

Поскольку первая космическая скорость на расстоянии [math]\displaystyle{ r }[/math] от тела массой [math]\displaystyle{ M }[/math] равна

[math]\displaystyle{ V_I =\sqrt{\frac{GM}{r}}, }[/math] то формула для красного смещения может принять следующий вид:

[math]\displaystyle{ z_G =\frac{V_I^2}{c^2}. }[/math]

Универсальная формула для изменения частоты, приложимая в любой метрической теории гравитации в условиях применимости приближения геометрической оптики (эйконала):

[math]\displaystyle{ \frac{\nu_r}{\nu_e}=\frac{s_e}{s_r}= \frac{\vec{u}_r\cdot \vec k_{r}}{\vec{u}_e\cdot\vec k_{e}}, }[/math]

где

[math]\displaystyle{ \nu_r }[/math] и [math]\displaystyle{ \nu_e }[/math] — частоты принятого (recieved) и излучённого (emitted) сигнала, соответственно,

[math]\displaystyle{ s_r }[/math] и [math]\displaystyle{ s_e }[/math] — собственные времена колебаний,

[math]\displaystyle{ u_r }[/math] и [math]\displaystyle{ u_e }[/math] — 4-скорости приёмника и источника, а

[math]\displaystyle{ k_r }[/math] и [math]\displaystyle{ k_e }[/math] представляют собой касательный светоподобный вектор (волновой 4-вектор сигнала), параллельно перенесённый вдоль траектории распространения сигнала.

История

Ослабление энергии света, излучаемого звёздами с сильной гравитацией, было предсказано Джоном Митчеллом ещё в 1783 году, на основе корпускулярного представления о свете, которого придерживался Исаак Ньютон. Влияние гравитации на свет исследовали в своё время Пьер-Симон Лаплас и Иоганн фон Зольднер (1801 год) задолго до того, как Альберт Эйнштейн в статье 1911 года о свете и гравитации вывел свой вариант формулы для этого эффекта.

Филипп Ленард обвинил Эйнштейна в плагиате за то, что он не процитировал более раннюю работу Зольднера — однако, принимая во внимание, насколько эта тема была забыта и заброшена до того момента, как Эйнштейн вернул её к жизни, практически не подлежит сомнению, что Эйнштейн не был знаком с предыдущими работами. В любом случае, Эйнштейн пошёл намного дальше своих предшественников и показал, что ключевым следствием из гравитационного красного смещения является гравитационное замедление времени. Это была очень оригинальная и революционная идея. Эйнштейн впервые предположил, что потерю энергии фотоном при переходе в область с более высоким гравитационным потенциалом можно объяснить через разность хода времени в точках приёма и передачи сигнала. Энергия кванта электромагнитного излучения пропорциональна его частоте согласно формуле [math]\displaystyle{ E = \hbar \omega, }[/math] где [math]\displaystyle{ \hbar }[/math] — редуцированная постоянная Планка. Таким образом, если время для приёмника и передатчика течёт с разной скоростью, наблюдаемая частота излучения, а вместе с ней и энергия отдельных квантов, тоже будет различной для приёмника и передатчика. В 2010 году физикам удалось измерить эффект замедления в лабораторных условиях.

Важные моменты

• Для наблюдения гравитационного красного смещения приёмник должен находиться в месте с более высоким гравитационным потенциалом, чем источник.

• Существование гравитационного красного смещения подтверждается многочисленными экспериментами, которые год от года проводятся в различных университетах и лабораториях по всему миру.

• Гравитационное красное смещение предсказывается не только в теории относительности. Другие теории гравитации тоже предсказывают гравитационное красное смещение, хотя объяснения могут отличаться.

• Гравитационное красное смещение проявляется, но не ограничивается Шварцшильдовским решением уравнений общей теории относительности — при этом масса [math]\displaystyle{ M }[/math], указанная ранее, может быть массой вращающегося или заряженного тела.

Экспериментальное подтверждение

Эксперимент Паунда и Ребки 1960 года продемонстрировал существование гравитационного красного смещения спектральных линий. Эксперимент был осуществлён в башне Лаймановской лаборатории физики Гарвардского университета с использованием эффекта Мёссбауэра; источник и поглотитель гамма-квантов (ядра железа-57) находились друг от друга на расстоянии 22,5 м по вертикали в гравитационном поле Земли. Относительный сдвиг частоты в этих условиях составлял 2,57⋅10⁻¹⁵.

Применение

Гравитационное красное смещение активно применяется в астрофизике. Релятивистская поправка на гравитационное красное смещение вводится в бортовые часы спутников глобальных систем позиционирования GPS и ГЛОНАСС.

Связь с замедлением времени

Гравитационное замедление времени — физическое явление, заключающееся в изменении темпа хода времени (и, соответственно, часов) в гравитационном потенциале. Основная сложность в восприятии этого обстоятельства состоит в том, что в теориях гравитации временная координата обычно не совпадет с физическим временем, измеряемым стандартными атомными часами.

При использовании формул общей теории относительности для расчёта изменения энергии и частоты сигнала (при условии, что мы пренебрегаем эффектами зависимости от траектории, вызванными, например, увлечением пространства вокруг вращающейся чёрной дыры) гравитационное красное смещение в точности обратно величине фиолетового смещения. Таким образом, наблюдаемое изменение частоты соответствует относительной разности скорости хода часов в точках приёма и передачи.

В то время как гравитационное красное смещение измеряет наблюдаемый эффект, гравитационное замедление времени говорит, что можно заключить на основании результатов наблюдения. То есть, говоря иными словами: измеряя единое красное/фиолетовое смещение для любого способа посылки сигналов «оттуда»—"сюда", мы приходим к выводу, что одинаковые с нашими часы там идут «как-то не так», быстрее или медленнее.

Для статического гравитационного поля, гравитационное красное смещение можно полностью объяснить разностью темпа хода времени в точках с различным гравитационным потенциалом. Процитируем Вольфганга Паули: «В случае статического гравитационного поля всегда можно так выбрать временную координату, чтобы величины g_ik от неё не зависели. Тогда число волн светового луча между двумя точками P1 и P2 также будет независимым от времени и, следовательно, частота света в луче, измеренная в заданной шкале времени, будет одинаковой в P1 и P2 и, таким образом, независимой от места наблюдения.»

Однако согласно современной метрологии время определяют локально для произвольной мировой линии наблюдателя (в частном случае — для одной и той же точки пространства с течением времени) через тождественные атомные часы (см. определение секунды). При таком определении времени темп хода часов строго задан и будет различаться от линии к линии (от точки к точке), в результате чего имеющаяся разность частот, например, в опыте Паунда — Ребки, или красное смещение спектральных линий, излучённых с поверхности Солнца или нейтронных звёзд, находит своё объяснение в разности темпа хода физического времени (измеряемого стандартными атомными часами) между точками излучения и приёма. В самом деле, так как скорость света считается постоянной величиной, то длина волны жёстко связана с частотой [math]\displaystyle{ \lambda=cT=c/\nu }[/math], поэтому изменение длины волны равносильно изменению частоты и обратно.

Если в некоторой точке излучаются, например, сферические вспышки света, то в любом месте в области с гравитационным полем координатные «временные» интервалы между вспышками можно сделать одинаковыми — путём соответствующего выбора временной координаты. Реальное же изменение измеряемого временного интервала определяется разностью темпа хода стандартных тождественных часов между мировыми линиями излучения и приёма. При этом в статическом случае абсолютно неважно, чем конкретно ведётся передача сигналов: световыми вспышками, горбами электромагнитных волн, акустическими сигналами, пулями или бандеролями по почте — все способы передачи будут испытывать абсолютно одинаковое «красное/фиолетовое смещение».

В нестационарном же случае вообще точным и инвариантным образом отделить «гравитационное» смещение от «доплеровского» невозможно, как например, в случае расширения Вселенной. Эти эффекты — одной природы, и описываются общей теорией относительности единым образом. Некоторое усложнение явления красного смещения для электромагнитного излучения возникает при учёте нетривиального распространения излучения в гравитационном поле (эффекты динамического изменения геометрии, отклонений от геометрической оптики, существования гравитационного линзирования, гравимагнетизма, увлечения пространства и так далее, которые делают величину смещения зависящей от траектории распространения света), но эти тонкости не должны затенять исходной простой идеи: скорость хода часов зависит от их положения в пространстве и времени.

В ньютоновской механике объяснение гравитационного красного смещения принципиально возможно — опять-таки через введение влияния гравитационного потенциала на ход часов, но это очень сложно и непрозрачно с концептуальной точки зрения. Распространённый способ выведения красного смещения как перехода кинетической энергии света [math]\displaystyle{ E = \hbar \omega }[/math] в потенциальную в самой основе апеллирует к теории относительности и не может рассматриваться как правильный. В эйнштейновской теории гравитации красное смещение объясняется самим гравитационным потенциалом: это не что иное, как проявление геометрии пространства-времени, связанной с относительностью темпа хода физического времени.

Вывод на основе принципа эквивалентности

Гравитационное красное смещение является следствием принципа эквивалентности.

Рассмотрим сначала распространение фотона в однородном гравитационном поле вдоль линий напряжённости поля из точки с меньшим потенциалом гравитационного поля в точку с большим потенциалом. Согласно принципу эквивалентности, наличие гравитационного поля напряжённости [math]\displaystyle{ g }[/math] в инерциальной системе отсчёта эквивалентно ускоренному движению системы отсчёта с ускорением [math]\displaystyle{ -g }[/math] в отсутствие гравитационного поля. То есть в данном опыте можно заменить наличие поле тяготения предположением о движении источника и приёмника с ускорением [math]\displaystyle{ a = -g }[/math], которое направлено вверх. Если считать, что излучение волны с частотой [math]\displaystyle{ \nu }[/math] происходит в тот момент, когда скорость источника равна нулю, то спустя время [math]\displaystyle{ \Delta t = \frac{h}{c} }[/math], когда волна достигнет приёмника, его скорость будет равна [math]\displaystyle{ v = g \Delta t = \frac{gh}{c} }[/math]. При вычислении относительной скорости [math]\displaystyle{ v }[/math] в формуле эффекта Доплера [math]\displaystyle{ \frac{\Delta \nu}{\nu} = \frac{v}{c} }[/math] скорость источника следует брать в момент излучения, а скорость приёмника — в момент прихода волны. Поэтому использование этой формулы показывает, что вследствие эффекта Доплера будет наблюдаться сдвиг частоты, равный

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta \nu}{\nu} = - \frac{gh}{c^2}. }[/math]

Обобщение этой формулы для случая неоднородного гравитационного поля имеет вид

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta \nu}{\nu} = - \int_{r_0}^{r_1} \frac{g(x)}{c^2}dx. }[/math]

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона [math]\displaystyle{ g(x)=G\frac{M}{x^2} }[/math]. Таким образом

[math]\displaystyle{ \frac{\Delta \nu}{\nu} = - \int_{r_0}^{r_1} \frac{G\frac{M}{x^2}}{c^2}dx = - \frac{GM}{c^2}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_0}\right). }[/math]

Эвристический вывод гравитационного красного смещения из метрических свойств пространства-времени

Ускоренная лаборатория, состоящая из источника пуль и приёмника

Гравитационное красное смещение можно получить, используя закон сложения скоростей.

Рассмотрим установку, состоящую из источника сигнала (к примеру, пуль) и приёмника. Расстояние между ними, измеренное в неподвижной системе отсчёта, обозначим [math]\displaystyle{ l }[/math]. При этом установка двигается в пустоте с постоянным ускорением [math]\displaystyle{ \vec{a} }[/math] относительно неподвижной системы отсчёта, что, согласно принципу эквивалентности, равнозначно помещению установки в однородное гравитационное поле.

Далее, поместим в приёмник и источник одинаковые часы [math]\displaystyle{ \tau_{out} = \tau_{in} }[/math], и попросим наблюдателя, который находится в точке «приёмника», сравнить их ход. Своё собственное время [math]\displaystyle{ \tau_{in} }[/math] он измерит непосредственно, а чтобы измерить ход времени в точке «источника», он будет измерять частоту приходящего сигнала. Скорость пули относительно «источника» обозначим как [math]\displaystyle{ w }[/math], скорость самого источника в момент посылки сигнала [math]\displaystyle{ v. }[/math] Тогда, пользуясь законом сложения скоростей, получаем скорость пули [math]\displaystyle{ u }[/math] в неподвижной системе:

[math]\displaystyle{ u = \frac{w+v}{1+ wv / c^2} = \frac{c^2 (w+v)}{c^2 + wv}. \qquad (1) }[/math]

На преодоление расстояния [math]\displaystyle{ l }[/math] сигнал затратит время [math]\displaystyle{ t, }[/math] а приемник за это время сместится на [math]\displaystyle{ vt + at^2 / 2. }[/math] Отсюда получаем уравнение:

[math]\displaystyle{ ut = l + vt + at^2 / 2, }[/math]

решив которое относительно [math]\displaystyle{ t, }[/math] получим:

[math]\displaystyle{ t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1- \frac{2al}{(u-v)^2} \right) ^{-1/2} \right] }[/math]

или приближённо:

[math]\displaystyle{ t = \frac{u-v}{a} \cdot \left [ 1 \pm \left (1 + \frac{la}{(u-v)^2} + \cdots \right) \right]. }[/math]

Таким образом, приходим к двум решениям:

[math]\displaystyle{ t_1= - \frac{l}{u-v}, \qquad t_2= 2 \frac{u-v}{a}+ \frac{l}{u-v}. }[/math]

Очевидно, что первое решение в данном случае — лишнее.

Подставим [math]\displaystyle{ u }[/math] из формулы (1) в формулу для [math]\displaystyle{ t }[/math] и при этом ограничимся [math]\displaystyle{ w }[/math] и [math]\displaystyle{ v }[/math] столь малыми, чтобы мы могли отбросить малые члены порядка [math]\displaystyle{ w^2 }[/math] и [math]\displaystyle{ v^2: }[/math]

[math]\displaystyle{ t = \frac{l(c^2 + wv)}{wc^2}= l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right). }[/math]

Скорость установки за время [math]\displaystyle{ \tau }[/math], разделяющее посылку двух последовательных сигналов, увеличится на [math]\displaystyle{ a \tau }[/math] и станет равной [math]\displaystyle{ v+a \tau }[/math]. Поэтому разница во времени прохождения двух последовательных сигналов составит:

[math]\displaystyle{ \Delta t = \Delta \tau = l \left( \frac{1}{w} + \frac{v+a \tau_0}{c^2} \right) - l \left( \frac{1}{w} + \frac{v}{c^2} \right) = \frac{a l \tau_0}{c^2}, }[/math]

и в итоге

[math]\displaystyle{ \frac{ \Delta \tau}{ \tau_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \tau_1 = \tau_0 \left(1+ \frac{al}{c^2} \right). }[/math]

Изменениями [math]\displaystyle{ l }[/math] и [math]\displaystyle{ \tau }[/math] (функции скорости) мы пренебрегли, как величинами соответствующего порядка малости.

Итак, часы идут медленнее, если они установлены вблизи весомых масс. Отсюда следует, что спектральные линии света, попадающего к нам с поверхности больших звёзд, должны сместиться к красному концу спектра», писал . А. Эйнштейн

Для частоты получим:

[math]\displaystyle{ \frac{ \Delta \nu}{ \nu_0} = \frac{al}{c^2} \Longleftrightarrow \nu_1 = \nu_0 \left(1- \frac{al}{c^2} \right). }[/math]

Обозначив разность гравитационных потенциалов на поверхности звезды и поверхности Земли как [math]\displaystyle{ \Delta \Phi = - al, }[/math] получим:

[math]\displaystyle{ \tau_1 = \tau_0 \left(1- \frac{ \Delta \Phi}{c^2} \right); \qquad \nu_1 = \nu_0 \left(1+ \frac{ \Delta \Phi}{c^2} \right). }[/math]

Эти выражения были выведены Эйнштейном в 1907 году для случая [math]\displaystyle{ \Delta \Phi / c^2 \ll 1 }[/math].

Литература

• Окунь Л. Б., Селиванов К. Г., Телегди В. Л. Гравитация, фотоны, часы // УФН, 1999, том 169, № 10, с. 1141—1147.
• Паунд Р. В. О весе фотонов // УФН, 1960, № 12, том 73, с. 673—683.
• Laplace, Pierre-Simon. The system of the world (English translation 1809) (англ.). — London: Richard Phillips, 1796. — Vol. 2. — P. 366—368.
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald. Gravitation. — San Francisco: W. H. Freeman, 1973. — ISBN 978-0-7167-0344-0.

Ссылки

• Michell, John. On the means of discovering the distance, magnitude etc. of the fixed stars (англ.) // Philosophical Transactions of the Royal Society : journal. — 1784. — Vol. 74. — P. 35—57. — doi:10.1098/rstl.1784.0008. — .
• Soldner, Johann Georg von. On the deflection of a light ray from its rectilinear motion, by the attraction of a celestial body at which it nearly passes by (англ.) // Berliner Astronomisches Jahrbuch : journal. — 1804. — P. 161—172.
• Pound, R.V.; Rebka, G.A.; Jr. Gravitational Red-Shift in Nuclear Resonance (англ.) // Phys. Rev. Lett.. — 1959. — Vol. 3, no. 9. — P. 439—441. — doi:10.1103/physrevlett.3.439. — .
• Pound, R.V.; Snider, J.L. Effect of gravity on gamma radiation (англ.) // Physical Review B. — 1965. — Vol. 140, no. 3B. — P. 788—803. — doi:10.1103/physrev.140.b788. — .
• Pound, R.V. Weighing Photons" (2000) (англ.) // Classical and Quantum Gravity. — 2000. — Vol. 17, no. 12. — P. 2303—2311. — doi:10.1088/0264-9381/17/12/301. — .