Ротор (дифференциальный оператор)

Ро́тор, рота́ция или вихрь — векторный дифференциальный оператор над векторным полем.

Обозначается разными способами:

• [math]\displaystyle{ \operatorname{rot} }[/math] (наиболее распространено в русскоязычной литературе),
• [math]\displaystyle{ \operatorname{curl} }[/math] (в англоязычной литературе, предложено Максвеллом),
• [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times }[/math] — как дифференциальный оператор набла, векторно умножаемый на векторное поле, то есть для векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] результат действия оператора ротора, записанного в таком виде, будет векторным произведением оператора набла и этого поля: [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla}\times\mathbf F }[/math].

Результат действия оператора ротора на конкретное векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] называется ротором поля [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] или просто ротором [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] и представляет собой новое векторное поле:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf F\equiv\mathbf{\nabla}\times\mathbf F }[/math]

Поле [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf F }[/math] (длина и направление вектора [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf F }[/math] в каждой точке пространства) характеризует в некотором смысле (см. далее) вращательную составляющую поля [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] в соответствующих точках.

Определение

Ротор [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf a }[/math] векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math] — есть вектор, проекция которого [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}_\mathbf n\mathbf a }[/math] на каждое направление [math]\displaystyle{ \mathbf n }[/math] есть предел отношения циркуляции векторного поля по контуру [math]\displaystyle{ L }[/math], являющемуся краем плоской площадки [math]\displaystyle{ \Delta S }[/math], перпендикулярной этому направлению, к величине этой площадки (площади), когда размеры площадки стремятся к нулю, а сама площадка стягивается в точку:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}_\mathbf n \mathbf a=\lim_{\Delta S\to 0}\frac{\oint\limits_{L}\mathbf{ a\cdot \, dr}}{\Delta S} }[/math].

Направление обхода контура выбирается так, чтобы, если смотреть в направлении [math]\displaystyle{ \mathbf n }[/math], контур [math]\displaystyle{ L }[/math] обходился по часовой стрелке.

Операция, определённая таким образом, существует строго говоря только для векторных полей над трёхмерным пространством. Об обобщениях на другие размерности — см. ниже.

Альтернативным определением может быть непосредственное вычислительное определение дифференциального оператора, сводящееся к

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf a=\nabla\times\mathbf a }[/math],

что может быть записано в конкретных координатах как это показано ниже.

• Иногда можно встретиться с таким альтернативным определением

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf a \Big|_{O} = \lim_{S\to O}\frac{\oint\limits_S[\mathbf a \times d\mathbf S]}{V} }[/math],

где [math]\displaystyle{ O }[/math] — точка, в которой определяется ротор поля [math]\displaystyle{ \mathbf a }[/math],

[math]\displaystyle{ S }[/math] — какая-то замкнутая поверхность, содержащая точку [math]\displaystyle{ O }[/math] внутри и в пределе стягивающаяся к ней,

[math]\displaystyle{ d\mathbf S }[/math] — вектор элемента этой поверхности, длина которого равна площади элемента поверхности, ортогональный поверхности в данной точке,

знаком [math]\displaystyle{ \times }[/math] обозначено векторное произведение,

[math]\displaystyle{ V }[/math] — объём внутри поверхности [math]\displaystyle{ S }[/math].

Это последнее определение таково, что даёт сразу вектор ротора, не нуждаясь в определении проекций на три оси отдельно.

Интуитивный образ

Если [math]\displaystyle{ \mathbf v(x,y,z) }[/math] — поле скорости движения газа (или течения жидкости), то [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf v }[/math] — вектор, пропорциональный вектору угловой скорости очень маленькой и лёгкой пылинки (или шарика), находящегося в потоке (и увлекаемого движением газа или жидкости; хотя центр шарика можно при желании закрепить, лишь бы он мог вокруг него свободно вращаться).

Конкретно [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf v=2\boldsymbol\omega }[/math], где [math]\displaystyle{ \boldsymbol\omega }[/math] — эта угловая скорость.

• Простую иллюстрацию этого факта — см. ниже.

Эта аналогия может быть проведена вполне строго (см. ниже). Основное определение через циркуляцию, данное выше, можно считать эквивалентным полученному таким образом.

Выражение в конкретных координатах

Формула ротора в декартовых координатах

В трёхмерной декартовой системе координат ротор (в соответствии с определением выше) вычисляется следующим образом (здесь [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] — обозначено векторное поле с декартовыми компонентами [math]\displaystyle{ (F_x, F_y, F_z) }[/math], а [math]\displaystyle{ \mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z }[/math] — орты декартовых координат):

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(F_x \mathbf e_x + F_y\, \mathbf e_y + F_z \mathbf e_z) ={} }[/math]

[math]\displaystyle{ = \left( \partial_y F_z - \partial_z F_y \right) \mathbf e_x+ \left( \partial_z F_x - \partial_x F_z \right) \mathbf e_y+ \left( \partial_x F_y - \partial_y F_x \right) \mathbf e_z \equiv }[/math]

[math]\displaystyle{ \equiv \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf e_x+ \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf e_y+ \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf e_z }[/math],

или

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf F)_x = \partial_y F_z - \partial_z F_y \equiv \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf F)_y = \partial_z F_x - \partial_x F_z \equiv \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} }[/math]

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf F)_z = \partial_x F_y - \partial_y F_x \equiv \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} }[/math]

(что можно считать альтернативным определением, по сути совпадающим с определением в начале параграфа, по крайней мере при условии дифференцируемости компонент поля).

Для удобства можно формально представлять ротор как векторное произведение оператора набла (слева) и векторного поля:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} \mathbf{F} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} \partial_x \\ \partial_y \\ \partial_z \end{pmatrix} \times \mathbf F = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_x & \mathbf{e}_y & \mathbf{e}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} }[/math]

(последнее равенство формально представляет векторное произведение как определитель).

Формула ротора в криволинейных координатах

Основная статья: Дифференциальные операторы в различных системах координат

Удобным общим выражением ротора, пригодным для произвольных криволинейных координат в трёхмерном пространстве, является выражение с использованием тензора Леви-Чивиты (используя верхние и нижние индексы и правило суммирования Эйнштейна):

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf{v})_i=\varepsilon_{ijk}g^{jm}\nabla_m v^k }[/math],

где [math]\displaystyle{ \varepsilon_{ijk} }[/math] — координатная запись тензора Леви-Чивиты, включая множитель [math]\displaystyle{ \sqrt g }[/math], [math]\displaystyle{ g^{jm} }[/math] — метрический тензор в представлении с верхними индексами, [math]\displaystyle{ g \equiv\det(g_{rs}) }[/math], а [math]\displaystyle{ \nabla_m v^k }[/math] — ковариантные производные от контравариантных координат вектора [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math].

Это выражение может быть также переписано в виде:

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf v)^n = g^{ni}\varepsilon_{ijk}g^{jm}\nabla_m v^k }[/math].

Формула ротора в ортогональных криволинейных координатах

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf{A} = \operatorname{rot}(\mathbf{q_1}A_1 + \mathbf{q_2}A_2 + \mathbf{q_3}A_3) = }[/math]

[math]\displaystyle{ {}=\frac{1}{H_2H_3}\left[\frac{\partial}{\partial q_2}(A_3H_3) - \frac{\partial}{\partial q_3}(A_2H_2)\right]\mathbf{q_1}\ + }[/math]

[math]\displaystyle{ {}+\frac{1}{H_3H_1}\left[\frac{\partial}{\partial q_3}(A_1H_1) - \frac{\partial}{\partial q_1}(A_3H_3)\right]\mathbf{q_2}\ + }[/math]

[math]\displaystyle{ {}+\frac{1}{H_1H_2}\left[\frac{\partial}{\partial q_1}(A_2H_2) - \frac{\partial}{\partial q_2}(A_1H_1)\right]\mathbf{q_3} }[/math]

[math]\displaystyle{ {}=\frac{1}{H_1H_2H_3}\begin{vmatrix} \mathbf(H_1{e}_1) & \mathbf(H_2{e}_2) & \mathbf(H_3{e}_3) \\ \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_1} & \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_2} & \frac{\partial}{\partial \mathbf{q}_3} \\ (A_1H_1) & (A_2H_2) & (A_3H_3) \end{vmatrix} }[/math],

где [math]\displaystyle{ H_i }[/math] — коэффициенты Ламе.

Обобщения

• Обобщением ротора применительно к векторным (и псевдовекторным) полям на пространствах произвольной размерности (при условии совпадения размерности пространства с размерностью вектора поля) является антисимметричное тензорное поле валентности два, компоненты которого равны:

[math]\displaystyle{ (\operatorname{rot}\mathbf F)_{ij} = \partial_i F_j - \partial_j F_i \equiv \frac{\partial F_j}{\partial x_i} - \frac{\partial F_i}{\partial x_j} }[/math]

Эта же формула может быть записана через внешнее произведение с оператором набла:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf F = \nabla \wedge \mathbf F }[/math]

• Для двумерной плоскости может быть использована аналогичная формула с псевдоскалярным произведением (такой ротор будет псевдоскаляром, и его величина совпадает с проекцией традиционного векторного произведения на нормаль к данной плоскости, если она вложена в трёхмерное евклидово пространство).

• Если на двумерном вещественном пространстве (с координатами [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math]) введена структура комплексного пространства (с координатой [math]\displaystyle{ z = x + iy }[/math]) и двумерные векторные поля записываются как комплекснозначные функции [math]\displaystyle{ f(z) }[/math], тогда с использованием дифференцирования по комплексной переменной

[math]\displaystyle{ \frac{\partial{}}{\partial z} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial{}}{\partial x} - i \frac{\partial{}}{\partial y}\right) }[/math]

ротор и дивергенцию (а они останутся действительными числами) можно записать так:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} f = 2\operatorname{Im}\frac{\partial f}{\partial z} }[/math],

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} f = 2\operatorname{Re}\frac{\partial f}{\partial z} }[/math].

Основные свойства

• Операция ротора линейна над полем констант: для любых векторных полей [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] и [math]\displaystyle{ \mathbf G }[/math] и для любых чисел (констант) [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math]

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}( a\mathbf{F} + b\mathbf{G} ) = a\operatorname{rot} \mathbf{F} + b\operatorname{rot}\mathbf{G} }[/math].

• Если [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — скалярное поле (функция), а [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] — векторное, тогда:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}(\varphi\mathbf{F})=\operatorname{grad}\varphi\times\mathbf{F} + \varphi\operatorname{rot}\mathbf{F} }[/math],

[math]\displaystyle{ \nabla\times(\varphi \mathbf{F}) = (\nabla\varphi) \times \mathbf{F} + \varphi(\nabla\times\mathbf{F}) }[/math].

• Если поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] потенциально, его ротор равен нулю (поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] — безвихревое):

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\operatorname{grad}\varphi\implies\operatorname{rot}\mathbf{F} =\boldsymbol0 }[/math].

• Обратное верно локально: если поле безвихревое, то локально (в достаточно малых областях) оно потенциально (то есть найдется такое скалярное поле [math]\displaystyle{ \varphi }[/math], что [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] будет его градиентом):

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf{F}=\boldsymbol0\implies\mathbf{F}=\operatorname{grad}\varphi }[/math]

Таким образом, различные векторные поля могут иметь одинаковый ротор. При этом различаться они будут обязательно на безвихревое поле (то есть, локально — на градиент некоторого скалярного поля).

• Дивергенция ротора равна нулю (поле ротора бездивергентно):

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 }[/math],

[math]\displaystyle{ \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0 }[/math].

• Обратное свойство также выполняется локально — если поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] бездивергентно, локально оно является ротором некоторого поля [math]\displaystyle{ \mathbf G }[/math], называемого его векторным потенциалом:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div}\mathbf{F}=0\implies\mathbf F=\operatorname{rot}\mathbf G }[/math].

• Дивергенция векторного произведения двух векторных полей выражается через их роторы по формуле:

[math]\displaystyle{ \operatorname{div} (\mathbf{F}\times\mathbf{G}) = (\operatorname{rot}\mathbf{F})\cdot \mathbf{G} - \mathbf{F}\cdot \operatorname{rot}\mathbf{G} }[/math]

Таким образом, если [math]\displaystyle{ F }[/math] и [math]\displaystyle{ G }[/math] — безвихревые векторные поля, их векторное произведение будет бездивергентным и локально будет обладать векторным потенциалом. Например, если [math]\displaystyle{ \mathbf{F}=\nabla f }[/math], а [math]\displaystyle{ \mathbf{G}=\nabla g }[/math], легко найти векторный потенциал для [math]\displaystyle{ \mathbf{F}\times \mathbf{G} }[/math]:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}\times \mathbf{G} = \operatorname{rot}(f\nabla g) }[/math].

Локально каждое бездивергентное векторное поле в трёхмерной области является векторным произведением двух градиентов.

• Ротор ротора равен градиенту дивергенции минус лапласиан:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\operatorname{rot}\mathbf{F}=\operatorname{grad}\operatorname{div}\mathbf{F}-\Delta\mathbf{F} }[/math].

• Ротор векторного произведения полей равен:

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot} (\mathbf{F \times G}) = (\operatorname{div}\mathbf{G}) \mathbf{F} - (\operatorname{div}\mathbf{F}) \mathbf{G} + \nabla_{\mathbf{G}}\mathbf{F} - \nabla_\mathbf{F}\mathbf{G} }[/math].

Физическая интерпретация

При движении сплошной среды распределение её скоростей (то есть поле скорости течения жидкости) вблизи точки О задаётся формулой Коши — Гельмгольца:

[math]\displaystyle{ \mathbf v(\mathbf r)=\mathbf v_O+\boldsymbol\omega\times\mathbf r+\nabla\varphi+o(\mathbf r) }[/math],

где [math]\displaystyle{ \boldsymbol\omega }[/math] — вектор углового вращения элемента среды в точке [math]\displaystyle{ O }[/math], а [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] — квадратичная форма от координат — потенциал деформации элемента среды.

Таким образом, движение сплошной среды вблизи точки [math]\displaystyle{ O }[/math] складывается из поступательного движения (вектор [math]\displaystyle{ \mathbf v_O }[/math]), вращательного движения (вектор [math]\displaystyle{ \boldsymbol\omega\times\mathbf r }[/math]) и потенциального движения — деформации (вектор [math]\displaystyle{ \nabla\varphi }[/math]). Применяя к формуле Коши — Гельмгольца операцию ротора, получим, что в точке [math]\displaystyle{ O }[/math] справедливо равенство [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf v=2\boldsymbol\omega }[/math], и, следовательно, можно заключить, что когда речь идет о векторном поле, являющемся полем скоростей некоторой среды, ротор этого векторного поля в заданной точке равен удвоенному вектору углового вращения элемента среды с центром в этой точке.

В качестве интуитивного образа, как это описано выше, здесь можно использовать представление о вращении брошенной в поток маленькой пылинки (увлекаемой потоком с собой, без его заметного возмущения) или о вращении помещённого в поток с закреплённой осью маленького (без инерции, вращаемого потоком, заметно не искажая его) колеса с прямыми (не винтовыми) лопастями. Если то или другое при взгляде на него вращается против часовой стрелки, то это означает, что вектор ротора поля скорости потока в данной точке имеет положительную проекцию в направлении на нас.

Формула Кельвина — Стокса

Циркуляция вектора по замкнутому контуру, являющемуся границей некоторой поверхности, равна потоку ротора этого вектора через эту поверхность:

[math]\displaystyle{ \oint\limits_{\partial S}\mathbf{F} \cdot\,\mathbf{dl} = \int\limits_S (\operatorname{rot} ~\mathbf{F}) \cdot \mathbf{dS} }[/math]

Частный случай формулы Кельвина — Стокса для плоской поверхности — содержание теоремы Грина.

Примеры

• В этой главе будем для единичных векторов по осям (прямоугольных) декартовых координат использовать обозначение [math]\displaystyle{ \mathbf e_x, \mathbf e_y, \mathbf e_z. }[/math]

Простой пример

Рассмотрим векторное поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math], зависящее от координат [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ y }[/math] так:

[math]\displaystyle{ \mathbf{F}(x,y)=y\mathbf e_x - x \mathbf e_y }[/math].

• В отношении этого примера нетрудно заметить, что [math]\displaystyle{ \mathbf{F} = \boldsymbol\omega \times \mathbf r }[/math], где [math]\displaystyle{ \mathbf r }[/math] — радиус-вектор, а [math]\displaystyle{ \boldsymbol\omega = -1 \mathbf e_z }[/math], то есть поле [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] можно рассматривать как поле скоростей точек твёрдого тела, вращающегося с единичной по величине угловой скоростью, направленной в отрицательном направлении оси [math]\displaystyle{ z }[/math] (то есть по часовой стрелке, если смотреть «сверху» — против оси [math]\displaystyle{ z }[/math]). Интуитивно более или менее очевидно, что поле закручено по часовой стрелке. Если мы поместим колесо с лопастями в жидкость, текущую с такими скоростями (то есть вращающуюся как целое по часовой стрелке), в любое место, мы увидим, что оно начнет вращаться по направлению часовой стрелки. (Для определения направлений используем, как обычно, правило правой руки или правого винта).
• [math]\displaystyle{ z }[/math]-компоненту поля [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] будем считать равной нулю. Однако если она ненулевая, но постоянная (или даже зависящая только от [math]\displaystyle{ z }[/math]) — результат для ротора, получаемый ниже, будет тем же.

Вычислим ротор:

[math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} =0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y+ \left[ {\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y \right] \mathbf e_z = -2\mathbf e_z }[/math]

Как и предположили, направление совпало с отрицательным направлением оси [math]\displaystyle{ z }[/math]. В данном случае ротор оказался константой, то есть поле [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} }[/math] оказалось однородным, не зависящим от координат (что естественно для вращения твёрдого тела). Что замечательно,

• угловая скорость вращения жидкости, вычисленная из ротора и оказавшаяся равной точно [math]\displaystyle{ \operatorname{rot} \mathbf F / 2 }[/math], точно совпала с тем, что указано в параграфе Физическая интерпретация, то есть этот пример является хорошей иллюстрацией приведённого там факта. (Конечно же, вычисления, полностью повторяющие приведённые выше, но только для неединичной угловой скорости, дают тот же результат [math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 2\boldsymbol\omega }[/math]).

Угловая скорость вращения в данном примере одна и та же в любой точке пространства (угол поворота пылинки, приклеенной к твердому телу не зависит от того места, где именно приклеить пылинку). График ротора [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] поэтому не слишком интересен:

Более сложный пример

Теперь рассмотрим несколько более сложное векторное поле:

[math]\displaystyle{ \mathbf F(x,y)=-x^2 \mathbf e_y }[/math].

Его график:

Мы можем не увидеть никакого вращения, но, посмотрев повнимательнее направо, мы видим большее поле в, например, точке [math]\displaystyle{ x=4 }[/math], чем в точке [math]\displaystyle{ x=3 }[/math]. Если бы мы установили маленькое колесо с лопастями там, больший поток на правой стороне заставил бы колесо вращаться по часовой стрелке, что соответствует ввинчиванию в направлении [math]\displaystyle{ -z }[/math]. Если бы мы расположили колесо в левой части поля, больший поток на его левой стороне заставил бы колесо вращаться против часовой стрелки, что соответствует ввинчиванию в направлении [math]\displaystyle{ +z }[/math]. Проверим нашу догадку с помощью вычисления:

[math]\displaystyle{ \mathbf{\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \mathbf e_x + 0 \mathbf e_y + {\frac{\partial}{\partial x}}(-x^2) \mathbf e_z = -2x \mathbf e_z }[/math]

Действительно, ввинчивание происходит в направлении [math]\displaystyle{ +z }[/math] для отрицательных [math]\displaystyle{ x }[/math] и [math]\displaystyle{ -z }[/math] для положительных [math]\displaystyle{ x }[/math], как и ожидалось. Так как этот ротор не одинаков в каждой точке, его график выглядит немного интереснее:

Ротор [math]\displaystyle{ \mathbf F }[/math] с плоскостью [math]\displaystyle{ x=0 }[/math], выделенной тёмно-синим цветом

Можно заметить, что график этого ротора не зависит от [math]\displaystyle{ y }[/math] или [math]\displaystyle{ z }[/math] (как и должно быть) и направлен по [math]\displaystyle{ -z }[/math] для положительных [math]\displaystyle{ x }[/math] и в направлении [math]\displaystyle{ +z }[/math] для отрицательных [math]\displaystyle{ x }[/math].

Поясняющие примеры

• В смерче ветры вращаются вокруг центра, и векторное поле скоростей ветра имеет ненулевой ротор (где-то) в центральной области. (см. Вихревое движение). (Правда, ближе к краю где-то ротор может принимать и нулевое значение см. ниже).
• Для векторного поля [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math] скоростей движения точек вращающегося твёрдого (абсолютно твёрдого) тела, [math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf v }[/math] одинаков всюду по объёму этого тела и равен (вектору) удвоенной угловой скорости вращения (подробнее — см. выше). В частном случае чисто поступательного движения или покоя, этот ротор может быть равен нулю, как и угловая скорость, тоже для всех точек тела.
• Если бы скорости автомобилей на трассе описывались векторным полем, и разные полосы имели разные ограничения по скорости движения, ротор на границе между полосами был бы ненулевым.
• Закон электромагнитной индукции Фарадея, одно из уравнений Максвелла, просто записывается (в дифференциальной форме) через ротор: ротор электрического поля равен скорости изменения магнитного поля (со временем), взятой с обратным знаком.
• Четвёртое уравнение Максвелла — закон Ампера — Максвелла — также записывается в дифференциальной форме с использованием ротора: ротор напряжённости магнитного поля равен сумме плотностей тока обычного и тока смещения.

Важный контринтуитивный пример

Нужно иметь в виду, направление ротора может не соответствовать направлению вращения поля (пусть это поле скоростей жидкости), которое представляется очевидным, соответствующим направлению течения. Он может иметь противоположное течению направление, и, в частности, ротор может оказаться равным нулю, хотя линии тока загибаются или даже представляют собой точные окружности). Другими словами, направление искривления векторных линий векторного поля никак не связано с направлением вектора ротора этого поля.

Рассмотрим такой пример. Пусть поле скорости течения жидкости [math]\displaystyle{ \mathbf v }[/math] определено формулой:

[math]\displaystyle{ \mathbf v = -f(y)\mathbf e_x }[/math],

[math]\displaystyle{ \operatorname{rot}\mathbf v = f'(y)\mathbf e_z }[/math].

Если [math]\displaystyle{ f'(y)\gt 0 }[/math], течение сносит частицу справа налево (то есть для наблюдателя сверху по оси [math]\displaystyle{ z }[/math] — против часовой стрелки), однако если [math]\displaystyle{ f'(y)\lt 0 }[/math] и [math]\displaystyle{ f(y) }[/math] — убывающая функция, тогда ротор всюду направлен вниз, что означает, что каждая частица жидкости закручивается ПО часовой стрелке (при этом одновременно ещё и деформируясь).

Сказанное означает, что среда как целое может вращаться вокруг наблюдателя в одну сторону, а каждый её маленький объём — в противоположную сторону, или не вращаться вообще.

Примечания

↑ Показывать компактно

См. также

• Ротор векторного поля. Теорема Стокса. на YouTube
• Вычисление ротора векторного поля. на YouTube
• Векторный анализ
• Теорема Грина
• Формулы векторного анализа