Соглашение Эйнштейна

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности, теории упругости и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна (также известно как «правило суммирования Эйнштейна»): если одна и та же буква в обозначении индекса встречается в одночлене и сверху, и снизу, то такой одночлен полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

[math]\displaystyle{ v_k= a_ib^i_k }[/math]

индекс [math]\displaystyle{ i }[/math] встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

[math]\displaystyle{ v_k=\sum_i{a_ib^i_k}. }[/math]

Точнее

[math]\displaystyle{ v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k, }[/math]

где [math]\displaystyle{ n }[/math] — размерность пространства, на котором определены [math]\displaystyle{ a }[/math] и [math]\displaystyle{ b }[/math] (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Индекс, по которому проводится суммирование, называется немым; он может быть заменён любой буквой, при этом значение выражения, в которое он входит, не меняется (очевидно, что [math]\displaystyle{ a_ib^i \equiv a_jb^j }[/math]). Если индекс не является немым (свободный индекс), он должен встречаться в одинаковом положении в обеих частях (не)равенства; фактически в этом случае одно выражение представляет собой систему выражений (равенств или неравенств), число которых равно n^s, где s — количество свободных индексов. Например, если размерность n = 4, то выражение

[math]\displaystyle{ r_{lk}= p_{li}q^i_k }[/math]

с двумя свободными индексами k и l представляет собой краткую запись 4²=16 равенств, в правой части каждого из которых стоит сумма четырёх произведений:

[math]\displaystyle{ r_{11}= p_{11}q^1_1 + p_{12}q^2_1 + p_{13}q^3_1 + p_{14}q^4_1; }[/math]

[math]\displaystyle{ r_{12}= p_{11}q^1_2 + p_{12}q^2_2 + p_{13}q^3_2 + p_{14}q^4_2; }[/math]

[math]\displaystyle{ ... }[/math]

[math]\displaystyle{ r_{44}= p_{41}q^1_4 + p_{42}q^2_4 + p_{43}q^3_4 + p_{44}q^4_4. }[/math]

В случае использования выражений в виде дробей, таких как частные производные, верхние индексы, записываемые в знаменателе, считаются для применения правила как бы нижними и наоборот; например, выражение

[math]\displaystyle{ \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i, }[/math]

записывается в виде

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i }[/math]

или в ещё более простом виде, когда запятая перед индексом обозначает частное дифференцирование по соответствующей координате:

[math]\displaystyle{ f^{,i}dx_i. }[/math]

В некоторых случаях (если метрический тензор полагается всегда равным δ_ik) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве [math]\displaystyle{ \R^3 }[/math]

[math]\displaystyle{ D_{\alpha\beta}n_\alpha = \sum_{\alpha=1}^{3} D_{\alpha\beta}n_\alpha. }[/math]

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать [math]\displaystyle{ D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha }[/math].